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文档简介

1、第二章 导数与微分,1、导数的概念 2、函数的求导法则 3、高阶导数 4、隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数 5、函数的微分,2013-10-22 周二,1.自由落体运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,第一节 导数概念,一、引例：,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,割线的极限位置切线位置,作割线MN,并令点N沿曲线趋向于点M,此时割线MN绕点M旋转,而趋向极限位置MT,直线MT称为曲线C在点M处的切线.,曲线的切线,设光滑曲线 y= f (x) , 曲线M点的切线:,二、导数的定义,定义,其它形式,即,也可记作,关于导数的说明：,（导函数）,注：以

2、上两式在求极限的过程中，x是常量，x或h是变量.,右导数:,4) 单侧导数,左导数:,说明:例如,步骤:,例1,解,三、由定义求导数,例2,解,（和差化积）,作业,例3,解,一般地,例如,将a换成x得,公式,例4,解,例5,解,四、导数的几何意义,几何意义,切线方程为,法线方程为,例6,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,例7,解 由导数的几何意义可知，,因此，曲线,五、函数的可导性与连续性的关系,定理：如果函数y=f(x)在点x处可导，则函数 在该点必连续.,证,如下面的情况：,例如,但是, 连续函数未必可导.,思考？,因为左、右导数存在但不相等，所以函数在x=0处不可导.,在x=0处没有切线，是个角点.,例如，函数 在区间 内连续， 但在x=0处不可导.,看下面的讨论：,例9.函数 在区间 内连续，但在x=0 处不可导.这是因为在点x=0处有,即,导数为无穷大（导数不存在）,曲线的切线为x=0, 即 y轴. 切线的斜率不存在.,例如,看下面讨论：,例10,解,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,六、小 结,函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件.,布

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