弹性力学平面问题的极坐标解答4.ppt

1、第四章 平面问题的极坐标解答,41 Differential Equations of Equilibrium in Polar Coordinates,42 Geometrical Equations and Physical Equations in Polar Coordinates,43 Stress Function and Compatibility Equations in Polar Coordinates,49 Effect of circular holes on stress distribution,4. Solution of Plane Problems in Po

2、lar Coordinates,44 Coordinates Transformation of Stress Components,45 Axisymmetrical Stresses and Cooresponding Displacements,46 Hollow Cylinder Subjected to Uniform Pressures,411 Concentrated Normal Load on a Straight Boundary,411 半平面体在边界上受集中力,例5. 图示半平面体，在边界上受集中力P作用，力与边界法线成角，取单位厚度（力沿厚度均布，量纲为“力长度-1”

3、），建立图示坐标系,Concentrated Normal Load on a Straight Boundary,用逆解法，首先假设应力函数,将所设应力函数代入相容方程得：,解此方程，求得：,由此求应力分量：,根据边界条件求待定常数C，D,上述两个条件恒满足,还有一组边界条件：在o点附近，有集中力P作用，其分布情况未知，但合力为P,由应力边界条件转换而来的平衡方程如下：,将r的表达式代入，求得：,应力分量的最后解答为：,当r趋近于零时， r无限大,所以上述公式的适用条件：离开o点稍远处（圣维南原理），且在弹性范围内,1、求应力分量：,将=0代入上式，得：,利用公式,将其变换成直角坐标系中的应

4、力分量：,2、求应变分量(将应力分量代入物理方程）,3、求位移分量(利用几何方程）,求得位移分量：,所以位移分量为：,常数I可由竖直方向的约束条件确定，若竖直方向无约束，则I不能确定，因为I代表竖直方向的刚体位移,因为I未确定，所以M点的沉陷也不能确定，但我们可以求两点间的相对沉陷,M、B两点的相对沉陷为：,上述解答也称符拉芒解答,410 半平面体在边界上受分布力,利用上节的应力公式和叠加原理,2、由集中力dP引起的应力（上节讨论过）,3、将集中力引起的应力叠加（积分）：,这就是分布力引起的应力,4、求半平面体受均布单位力作用时的沉陷,1、取微长度dr，其上所受的力dP=dr/c可看作集中力，

5、如图，r为微集中力到K点的距离,2、利用公式，由dP引起的沉陷为：,s为微力到沉陷基点B之间的距离,3、积分求均布力引起的沉陷,取sr，即可将s看作常数，积分得,其中：,4、求均布力中点I的沉陷：x=0,求得：,5、当x/c为整数时，FKB的值可以从P91表41中取，沉陷仍公式仍为：,小 结,1、在解决具有圆曲线边界的平面问题时，采用极坐标，极坐标与直角坐标都是正交坐标，其物理量在两个坐标之间存在着教简明的转换关系，利用这种转换关系，可以很容易建立极坐标下的基本方程,2、采用极坐标时，平面问题的基本方程共有八个：,3、按应力求解平面问题，关键是要寻求应力函数（r，），使之满足相容方程,然后按公式：,所求应力分量满足边界条件和位移单值条件,5、对圆环或圆筒、应力集中问题、半平面