高考数学理全国通用大一轮复习课件第二篇函数导数及其应用必修1选修22第11节导数在研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题

1、第三课时利用导数证明不等式专题,专题概述,利用导数证明不等式是高考的热点问题,常作为解答题的一问出现,难度较大,解决此类问题一般是通过构造函数把不等式问题转化为求函数单调性或最值问题解决.,考点一 构造函数证明不等式(高频考点),考点专项突破 在讲练中理解知识,考查角度1:移项构造函数证明不等式 高考扫描:2016高考新课标全国卷,2014高考新课标全国卷. 【例1】 (2016全国卷)设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性;,(3)设c1,证明当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.,反思归纳 当不等式左、右两边都含有自变量时,可以移项后构造函数,证明所构造函数的最值

2、与0的大小关系.常见方法是:若证明f(x)g(x)在区间D上恒成立,则构造函数h(x)=f(x)-g(x),再根据函数单调性或最值,证明h(x)0.,考查角度2:最值转化法证明不等式 【例2】 导学号 18702120 已知f(x)=xln x-ax,g(x)=-x2-2. (1)当a=-1时,求函数f(x)在区间m,m+3(m0)上的最值;,考查角度3:变形转化后证明不等式,构造函数证明与函数零点(方程根)有关的不等式,考点二,(2)若方程f(x)=a有两个根x1,x2(x12a.,反思归纳 若函数y=f(x)的极值点是x0,且x1,x2是函数y=f(x)的零点,则关于x1,x2,x0的不等

3、式常用证明方法如下: (1)构造一元函数F(x)=f(x0+x)-f(x0-x); (2)求F(x),确定函数F(x)的单调性; (3)结合F(0)=0判断F(x)的符号,确定f(x0+x)与f(x0-x)的大小关系; (4)结合y=f(x)的单调性确定x1+x2与x0的大小关系.,【即时训练】 已知函数f(x)=xe-x(xR). (1)求函数f(x)的单调区间和极值;,(1)解:f(x)=(1-x)e-x.令f(x)=0,解得x=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以f(x)的单调递增区间为(-,1),单调递减区间为(1,+). 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)

4、,且f(1)= ,无极小值.,(2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明当x1时,f(x)g(x);,(2)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex-2. 令F(x)=f(x)-g(x)=xe-x+(x-2)ex-2. 于是F(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x. 当x1时,2x-20,从而e2x-2-10. 又e-x0,所以F(x)0,从而函数F(x)在1,+)上是增函数. 又F(1)=e-1-e-1=0,所以x1时,有F(x)F(1)=0, 即f(x)g(x).,(3)如果x1x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x

5、22.,(3)证明:因为f(x1)=f(x2)且x1x2, 设x10,知x11. 由(2)可知, f(x2)g(x2),g(x2)=f(2-x2), 所以f(x2)f(2-x2),从而f(x1)f(2-x2). 因为x21,所以2-x22-x2,即x1+x22.,赋值法证明正整数不等式,考点三,【例5】 导学号 18702123 若函数f(x)=ex-ax-1(a0)在x=0处取极值. (1)求a的值,并判断该极值是函数最大值还是最小值;,(1)解:因为x=0是函数极值点,所以f(0)=0, 所以a=1. f(x)=ex-x-1,易知f(x)=ex-1. 当x(0,+)时,f(x)0,当x(-,0)时,f(x)0, 故极值f(0)是函数最小值.,反思归纳 (1)函数中与正整数有关的不等式,其实质是利用函数性质证明数列不等式,证明此类问题时常根据已知的函数不等式,用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量.通过多次求和达到证明的目的.此类问题一般至少2个问号,已知的不等式常由第一个问号根据待证式的特征而得到. (2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式),而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式),还要注意指、对数式的互化,如exx