2.2.1综合法和分析法-试题.ppt

1、2.2 直接证明与间接证明,2.2.1综合法和分析法,例1:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c2 2bc,a0 所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+b2 2bc,b0 所以b(c2+a2) 2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,练习:,例2：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形,练习2：在锐角三角形中， 求证sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC,练习1:求证:对于任意角,分析法典型例题：,例1.求证不等式：,.,注：分析法证明思路为：

2、从求证的结论出发，逐步寻 求使结论成立的条件。,例2求证：,证明：因为 都是正数，,所以为了证明,只需证明,展开得,即,只需证明2125，因为2125成立，,所以不等式 成立。,练习1.求证,证明:,要证,只需证,只需证,即证,因为,成立,所以,成立.,显然,证法2,要证,只需证,只需证,只需证,上式显然成立.,所以,成立.,答案：ab,例3ABC的三个内角A、B、C成等差数列，A、B、C的对边分别为a、b、c. 分析条件与结论跨越较大，不易下手，可考虑用分析法证明；由于分析法是执果索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分析法的倒退过程就是综合法,只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 只需

3、证c2a2acb2， 又因为角A、B、C成等差数列，所以B60，,由余弦定理，有 b2c2a22accos60，即b2c2a2ac， 故c2a2acb2得证,小结:教师引导学生总结分析 法的思考过程和特点, 关注用分析法证题时 可能出现的错误.,综合法： 证明：ABC三内角A、B、C成等差数列， B60. 由余弦定理，有b2c2a22cacos60， 得c2a2acb2， 等式两边同时加上abbc得 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，,【巩固练习】,3.（2010.江苏高考）已知ABC的三边长都是有理数，求证：cosA是有理数。,直接证明（例题）,直接证明,证 （综合法） 因为,因为,所以

4、,又因为,所以,所以,所以,直接证明,证 （分析法）要证明CE=DF，只需证明 为此只需证明,为了证明,只需,为了证明,只需证明,也只需,因为 是对顶角，所以它们相等，从而,成立，因此命题成立.,分析法 解题方向比较明确， 利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述。,通常以分析法寻求 思路，再用综合法有条理地 表述解题过程,直接证明（练习）,证,要证,只需证明,只需证明,只需证明,所以原命题成立.,3.ABC三边长,的倒数成等差数列，求证：,.,证明：,因为a,b,c为ABC三边,所以 a + c b,所以 cosB0,因此,直接证明（练习）,思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由

5、甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数,甲:208个,乙:112个,丙:64个,课后思考：已知数列an的通项an0,(nN*),它的前n项的和记为sn,数列s2n是首项为3,公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(nN*),的大小.,例:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab, 试证s2a,例1求证：,证明：因为,所以,左式=log195+2log193+3log192 =log

6、19(53223)=log19360.,因为log19360log19361=2，,所以,为,数,证,为,数,证,例2如图，设四面体PABC中, ABC=90，PA=PB=PC，D是AC的中点，求证：PD垂直于ABC所在的平面。,证明：连接PD，BD，因为BD是RtABC斜边上的中线， 所以 DA=DB=DC，又因为 PA=PB=PC，,而PD是PDA、PBD、PCD的公共边, 所以PDAPBDPCD，,于是PDA=PDB=PDC， 而PDA=PDC=90， 可见PDAC，PDBD， 由此可知，PD垂直于ABC所在的平面.,这个证明的步骤是： （1）由已知BD是RtABC斜边上的中线,推出DA

7、=DB=DC，记为P0(已知)P1; （2）由DA=DB=DC，和已知条件，推出三个三角形全等，记为P1P2；,（3）由三个三角形全等，推出PDA= PDB=PDC=90,记为P2P3; （4）由PDA=PDB=PDC=90,推出PD垂直于ABC所在的平面，记为P3 P4(结论)；,这个证明步骤用符号表示就是 P0(已知)P1P2P3P4(结论).,例5求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大,证明：设圆和正方形的周长为L， 依题意，圆的面积为,正方形的面积为,因此本题只需证明,为了证明上式成立，只需证明,两边同乘以正数,得,因为上式是成立的，所以,这就证明了如果一

8、个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。,练习A,1已知n是大于1的自然数，求证：,证明：因为,所以要证原式成立，只需证明,而,所以原不等式成立。,2已知a，b，c表示ABC的边长，m0，求证：,证明：因为,所以,所以原不等式得证。,B组,1求证：,证明：欲证,需证,两边平方得,即需证,即,由于该式成立，所以原不等式成立。,2如果3sin=sin(2+)，求证：tan(+)=2tan.,证明： 3sin=sin(2+)，, 3sin(+)=sin(+)+，, 3sin(+)cos3cos(+)sin =sin(+)cos+cos(+)sin，,即2sin(+)cos=

9、4cos(+)sin，,所以tan(+)=2tan,练习1: 已知AD是BAC的平分线,DECA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE,分析：,综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,适宜于表述,分析法(analytical methed)：是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法,练习1: 已知AD是BAC的平分线,DECA,且交AB于E(如图).求证：DE=AE,分析：,练习 设a,b,c为一个三角形的三边，s=(a+b+c)/2,且s2=2ab. 求证：s2a,s2a,s=(a+b+c)/2,b+c3a,s2=2ab,bs,s=(a+b

10、+c)/2,2b2s=a+b+c,ba+b,习题答案,引例：,四、练一练：,左边是3个正数a，b，c的和，右边为三项之和，其中每一项都是一个数与另一个数的乘积的算术平方根.,思考1：,其式子左右两边的结构有什么特点？,一、新课引入,思考2：利用哪个知识点可以沟通两个数的和与这两个数的乘积算术平方根的不等关系？,基本不等式,+,+,+,思考3：如何利用不等式性质完成:,思考3：如何利用不等式性质完成:,例:,解:,在数学证明中，我们经常从已知条件中或者某些数学定义、公理、定理等出发，通过推导推理出所要的结论。,例:已知a、b、c是不全相等的正数,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc,三式相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc,证明:,所以a(b2+c2)2abc. ,同理b(c2+a2)2abc. ,同理c(a2+b2)2abc. ,a、b、c是