第三章波动方程

1、.,1,3 波动方程的解及地震波的特点,本章包括： 无限大、均匀各向同性介质中的平面波 无限大、均匀各向同性介质中的球面波 地震波的动力学特点 地震波的运动学特点,.,2,P波波动方程 无限大、均匀各向同 S波波动方程 性介质中的平面波 SV波 SH波,3 波动方程的解及地震波的特点,.,3,位移方程 胀缩点震源球面纵波 震 胀缩力 物理含义 无限大、各向同性 源 介质中的球面波 性 旋转力 质 位移方程 旋转点震源球面横波 物理含义,3 波动方程的解及地震波的特点,.,4,球面纵波的传播特点 视波长 波剖面 视波数k 关 振动图（实际记录） 视周期T 系 视频率f 地震波的动力学特点 能量密

2、度 能量和球面扩散 能流密度 球面扩散 地震波的谱分析（傅立叶变换 ） 应用 识别不同的地震波 识别岩性,3 波动方程的解及地震波的特点,.,5,惠更斯-夫列涅尔原理 地震波的运动特点 射线积分理论-克希霍夫积分 费马原理和波的射线 时间场和视速度定理,3 波动方程的解及地震波的特点,.,6,3 波动方程的解及地震波的特点,在均匀、各向同性、理想弹性介质中的弹性波方程为： 两边分别取散度和旋度，并且令 则可得纵波方程和横波方程,.,7,3 波动方程的解及地震波的特点,波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。波动方程的求解通常是和定解问题联系起来考虑。波动方程的解就是波函数。 在不同的情况下可以得

3、到不同的解，即波函数有不同的形式。 为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数，并用表示。一般来讲，波函数是空间和时间的函数，并且是复函数，即=(x，y，z，t)。,.,8,3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波,一、沿任意方向传播的平面波 直接用位移向量所表示的波动方程式求解 式中：A为振幅，决定位移的大小，为波的相位. 2f/V = w/V为简谐波参数，f频率，w圆频率，V波速。 i为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 为传播项。 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。,.,9,若 为常数，t固定，该方程代表一个以 为法向量的平面，波在每个这样的平面上必然有相同的相位，即

4、平面波是垂直于 平面传播的。不同的t，有不同的波前面。平面波的波前面是平行的。 是平面的法线方向数。有 取负号时，表示随时间t的增加，波沿k方向前进，即延迟一个时间。 取正号时，表示随时间t的增加，波沿-k方向前进，即提前一个时间 当K是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。即表示沿任意方向传播的平面简谐波。,3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波,.,10,二、沿X轴方向传播的平面波（即 ） 将上式代入波的Navier方程 整理简化，并令体力F=0，可得,.,11,无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 第一组解：当 时， 沿x方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零，即波的传

5、播方向与位移方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P波。 第二组解：当 时， 其位移方向与波的传播方向垂直，所以称为平面横波，也称为剪切波，通常简称为S波。S波有两个质点振动方向：沿Z轴振动的S波分量为垂直偏振剪切波，称为SV波，沿Y轴振动的S波为水平偏振剪切波，称为SH波。,.,12,3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波,下面进一步讨论在地震勘探的初始和边界条件下，胀缩力divF和旋转力rotF的作用下，求解波函数，并分析其性质（以纵波为主） 2.2.1 胀缩点震源条件下的球面纵波 1、初始和边界条件 初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个均匀的力垂直作用在半

6、径为a的球形空腔壁上。当 或相对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力位函数或者震源函数可以表示为,（初始条件）,是震源力,.,13,3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波,当tt时，点震源作用完毕。 边界条件：因已假设弹性介质的空间是无限的，其内不存在任何弹性分界面，故无边界条件。 球面纵波：在在均匀各向同性介质中激发点源，所产生的胀缩力作用面具有球对称性，所产生的波前面是一个球面，当研究任意一球半径r方向上的纵波的传播特点，就可以代表其他方向的传播特点，称此为球面纵波。,.,14,已知球面纵波传播波动方程如下： 此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球坐标系中，即 为矢量r和z

7、轴之间的夹角， 为矢量r在 xoy平面上的投影与x轴之间的夹角,3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波,2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解,.,15,各种算子在球坐标系中的表达式为：,3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波,.,16,将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程： 可用达朗贝尔法解得： 如果使 为常数，则t 随 r 增大而增大， 代表了沿r向“外”传播的波，称为发散波。 代表了沿-r向“内”传播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t为负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。,3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波,.,17,该式是

8、齐次方程的解，只反映了波的传播特点。当力位函数不为零时，需求非齐次方程的解，即达朗贝尔解。 将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式求体积分，并令r-0,其极限情况就是点震源的达朗贝尔解。,因此，上式又可写为：,.,18,左端的第一项，其特解带入则得， 左端的第二项，按奥斯特洛斯公式：任意一个矢量场，若在空间域W中该场的一阶导数是存在，则该场边界S上的通量等于在W域中散度的体积分。即：,.,19,.,20,.,21,力位函数不为零的波动方程的达郎贝尔解为： 该式为用震源函数表示的波动方程的位移位解。 在实际工作中，人们不可能接收到质点的位移位，而只能接收到质点的位移。 地震记录上地

9、震波的振幅A值就是反映质点的位移。所以必须把位移位转换成位移。,3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波,.,22,3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波,3、球面纵波的位移解 球面纵波的位移为： 其物理含义为： 球面纵波以 的速度沿r方向向外传播 纵波质点的位移与震源强度及其一阶导数成正比 质点位移与波的传播方向一致 纵波质点位移与r及其平方成反比 表示延迟位 质点位移在一维空间振动，为线形极化波,.,23,平面波的波前代替球面波的波前,引起的误差是平面波的传播方向偏离了真正的传播方向. 如果球面波的半径足够大或者PR足够小时，可根据需要，使偏差变得很小。,.,24,3.2 无限大、均

10、匀各向同性介质中的球面波,2.2.2 旋转点震源条件下的球面横波 球面横波有以下一些特点： 球面横波以速度 沿r方向向外传播 位移与震源强度及其一阶导数有关 位移幅度与传播距离r及其平方成反比 波的转播方向和振动方向垂直 质点的位移方向有两个，产生水平偏振的SH波和垂直偏振的SV波 为延迟位,.,25,3.3 地震波的动力学特点,地震波的动力学特征：就是有地震波的动力学参数来体现的。 地震波的动力学参数：用于描述地震波振动特征的参数，包括波的振幅（A）、频率(f)或周期(T)、相位、波速、偏振及衰减等特点。 在实际工作中，纵波的激发可以利用炸药、气枪、电火花等很方便地得到，而横波的激发则相对困

11、难一些，而且其激发能量一般也比较弱。特别是地表附近的含水风化层有利于纵波的传播和纵波的垂直出射，因此纵波的激发和接收都比较容易，而风化层对横波的传播和接收都比较困难。因此，目前的横波勘探的深度一般大致在1000米内。 换句话说，目前的勘探方法主要还是纵波勘探。,.,26,3.3 地震波的动力学特点,2.3.1 球面纵波的传播特点 在球坐标中，纵波的质点位移为： 1、远离震源的球面纵波(1/r1/r2) 2、近震源的球面纵波（ 1/r2 1/r）,.,27,3.3 地震波的动力学特点,在近震源区域，质点振动规律（波函数）主要与震源函数 有关；而在远震源区域，质点振动主要与震源函数的导数 有关。

12、在近震源区域，质点振动的位移振幅主要与传播距离的平方(r2)成反比，衰减较快；而在远震源区域，质点振动的幅度主要与传播距离r成反比，衰减较慢。当传播距离r很大时，地震波的振幅趋于稳定，在一个波动带内r可视为常数。,.,28,3、波前、波带及波尾 地震勘探通常都是在远离震源处观测质点的位移，因此，在远震源情况下，进一步讨论有关波前、波带和波尾的概念。 按照点震源的定义，则震源函数 有： 其一阶导数 可表示为：,（初始条件）,3.3 地震波的动力学特点,.,29,由上式可知 的存在条件是： 即波从O点出发，经过 到达 (q点)，再经过 时间到达 (p点)，称p点为波前,以 为半径的球面为波前面,q

13、点为波尾，以为 半径的球面为波尾面， 和 之间为波带。相应地，可以分为波前区（表示尚未波动的区域）、波尾区（波动已结束的区域）和波动区（正在波动的区域）。,3.3 地震波的动力学特点,注意：某个时刻的波前、波尾,.,30,在波动区，相邻质点的位移状态是不相同的，这是由于确定质点位移的震源函数的一阶导数是变化的。 对于每个给定的时刻，波动带的质点可以是相互靠近，形成质点局部密集带，称为压缩带；也可以是彼此分开，形成局部的疏松带，称为膨胀带。 压缩带和膨胀带不断交替更换，使地震波不断向前传播，即纵波（胀缩波）的传播特点。,3.3 地震波的动力学特点,.,31,3.3 地震波的动力学特点,可用体应变

14、 来定量阐述 又： 则有： 体应变的符号取决于震源的二阶导数的符号。,假设震源函数在t时间为一个简单的连续信号，则一阶导数至少有一次经过零点，二阶至少有两次零点。则体应变将从正-负-正（或者负-正-负），即疏松带-压缩带-输松带。因此，纵波在波动带内至少有三个不同的胀、缩带。,.,32,3.3 地震波的动力学特点,2.3.2 地震波的波剖面和振动图 波剖面：在某一固定时刻，观测波动带内，沿波的传播方向(r)各质点的位移状态图形(up-r)。正值表示压缩，负值表示膨胀。正峰值为波峰，负峰值为波谷。 振动图：在某一传播距离处，观测波动带内某个质点随时间的位移变化状态图形(up-t) 。振动图的极值

15、（正或负）称为相位。极值的大小为振幅。 注意： 单道地震记录是振动图。 多道地震记录包含了振动图和波动图.,.,33,3.3 地震波的动力学特点,视波长 ：在波剖面上，正峰值为波峰，负峰值为波谷，波峰之间的距离为视波长。 视波数 ：视波长的倒数称为视波数。 视周期 ：在振动图上，相邻正极值（或负极值）之间的距离为视周期。 视频率 ：视周期的倒数称为视频率。 有如下一些关系： 这里引入了视周期、视波长、视波数和视频率等概念，因为是实际观测到的数据。,.,34,3.3 地震波的动力学特点,2.3.3 能流密度和球面扩散 1、能流密度 地震波的传播实质上就是能量的传播。反射波通过的介质体积为W，介质

16、的密度为 ，对简谐振动，则波的能量： 即波的能量与振幅平方、频率平方、介质密度和体积成正比。 能量密度：包含在介质中单位体积内的能量： 能流密度或波的强度I：单位时间内通过介质面积S的能量为能流通量，则单位时间内通过单位面积的能量为能流密度或波的强度I 即波的强度正比于波的振幅平方、频率平方、速度及介质密度。,.,35,由上式可得出以下结论： 在其他条件相同时，地震波的振幅A与I,成正比，I大则A大； 在I、w、W一定时，密度大的岩石与密度小的岩石相比，其振幅要小，即在致密岩石中要获得相同的振幅就需要更多的能量（未考虑吸收）。 高频的波与低频的波，要获得相同的振幅，则需要更多的能量。,3.3

17、地震波的动力学特点,.,36,.,37,3.3 地震波的动力学特点,2.3.3 能流密度和球面扩散 2、球面扩散 在远离震源区，地震波的振幅（位移）与r成反比。形成这种关系的物理原因是随着r的增大，球面也越来越大，而从震源O发出的能量又必需守恒，即相同的能量必须分配在越来越大的球面上。这必然造成能流密度I随r增大而越来越小。I 越小，按下式，振幅A也随之减小。称这种现象为球面扩散或称几何扩散。 特别注意：球面扩散并不存在波的能量损失的问题，它只是能量随r不同而重新分配。即随r的增大，分配在单位面积上的能量越来越少。,.,38,3.3 地震波的动力学特点,2.3.4 波场的频谱分析 时间域非周期

18、函数x(t)的傅立叶变换对为： 式中， 为频率域复函数，称为x(t)的频谱，该式表明任何一个非周期函数 x(t)都是由不同频率，不同振幅和不同相位的简谐振动之和组成。复函数可以表示为 其中： 称为x(t)的振幅谱，表示了每个简谐分量对 x(t)振幅的贡献； 称为x(t)的相位谱，表示了各个简谐振动之间的相位关系。,.,39,.,40,3.3 地震波的动力学特点,由振幅谱可知时间函数x(t)中包含的简谐波频率成分及相应的幅度值，由相位谱可知参与叠加的各频率简谐波的初相位。 如果研究波剖面，则将自变量时间t换为距离x，f换为k，相应的傅立叶变换为 这就是波剖面的波数谱分析。 如果对二维地震记录一次

19、完成二维傅立叶变换，则完成了频率波数（频波）分析。,.,41,3.3 地震波的动力学特点,频谱分析就是将整个时间域中的信号F(t)通过傅立叶正变换求得振幅谱和相位谱。表示了整个时间域内每个简谐分量对F(t)的贡献；但是它们不能表示每个时刻的频谱特征，即瞬时频谱 三瞬数字处理技术是为了研究瞬时频谱。该技术可以得到信号在每个时刻的瞬时频谱。 瞬时频谱分析技术在研究岩石的岩性和识别小断层等地质现象时很有价值。 瞬时频谱分析是基于复信号分析为基础的 复信号u(t)表示为 式中， 表示实际地震信号， 表示 的希尔伯特变换,.,42,3.3 地震波的动力学特点,则: 瞬时振幅 瞬时相位 瞬时频率 这样，就

20、可以得到三瞬剖面。,.,43,3.3 地震波的动力学特点,频谱分析的应用： 识别不同的地震波。不同的地震波的频谱是不一样的，也就是说它们的视波长、视周期、视速度等特征不一样。这样，我们就可能利用各种方法（包括仪器、野外、处理等）剔除或压制干扰波，而加强有效波。 识别岩性。不同岩石、岩性、厚度的的地层的频谱是不一样的。比如砂岩含油气后其频率可能变低，其速度也可能变低。,.,44,.,45,3.3.5 地震波的极化 波的极化：纵波质点位移的方向与波的传播方向一致，横波质点的位移方向与波的传播方向垂直，这样的现象叫做波的极化。 线性极化波：质点振动在一条直线上的波，如纵波、横波； 面极化波：质点位移

21、是在一个平面内做曲线运动 研究波的极化可以识别不同的波，还可以确定最有利的接收方向。,3.3 地震波的动力学特点,.,46,3.3 地震波的运动学特点,波的运动学特征就是研究波的传播时间和空间的关系。波的传播理论： 最早由荷兰科学家惠更斯提出，但只是一个实验总结，只能给出波在传播空间中的几何位置，而且没有数学证明。 夫列涅尔对波的传播做了物理解释和简单的定量计算，即惠更斯-夫列涅尔原理。计算结果虽不是很精确，没有解决如何定量一个观测点的波场问题，但形成波传播的运动学基础。 1883年，德国科学家克希霍夫利用绕射积分理论解决了波场的定量计算问题。,.,47,3.3 地震波的运动学特点,2.3.1

22、 惠更斯-夫列涅尔原理 惠更斯原理:在空间中，任意时刻波前面上的每一个点都可以看成是一个新的点源，并由它产生二次扰动形成元波前，各个元波前的包络就是下一个时刻的新波前的位置。 惠更斯-夫列涅尔原理:波前面上各个新点源产生的二次扰动，都可以传播到空间上任意一个观测点M上，形成相互干涉的叠加振动；该叠加振动就是该观测点M的总扰动，即M点的波场。,.,48,2.3 地震波的运动学特点,2.3.2 绕射积分理论-克希霍夫积分式 波前面上任意一个新点源发出的元波前可称为广义绕射子波； 空间中任意一点的波场就是所有绕射子波的积分和。 具有严格的数学推导，不仅给出了波的传统的几何（射线）传播理论，而且给出了

23、质点位移（波形）方程。克希霍夫给出了更普遍情况下的波动方程的解，即达朗贝尔方程解。这种解法已经广泛应用于地震勘探中。 广义克希霍夫积分式,.,49,2.3 地震波的运动学特点,1、延迟位 式中的前一项为体积分，后一项为面积分，实际中常常不能同时存在的。 如a图，在t=0时刻从M1点的球体中向外发出弹性波，该波源区的半径为a。则在t=t1时刻的波前将是半径为“a+Vt1”球面。若积分域取得比W球体还大，即闭合面S在W球面之外，显然，弹性波到达观测点M时，绝不可能到达S面上，S面上的位函数及导数必然为零，只有第一项。 这一结果称为波场在M(x,y,z)的延迟位，表示了在t时刻M的波场是从震源 M1

24、在“t-R/V”时刻发出的。,图b是任意波源区，任何一块dW发出的波都要经过R/V时延后才能到达M点。因此，在t 时刻波源区W0对M点的波函数是所有子波源发出的波，经过不同R/V延迟后，于t1时刻到达M点的叠加积分和。,.,50,2、空间域W内无体积波源，或者在震源作用时间t之后W域中无波源，此时，体积分为零，只有面积分： 3、若观测点M1在空间域W以外，则克希霍夫积分式不成立，两积分之差为零。则无法用格林公式求解波场。 若M点取在空间域W以内，则两积分之差为等于M点t时刻的波函数。,2.3 地震波的运动学特点,.,51,3.3 地震波的运动学特点,3.3.3 费马原理和波的射线 费马原理：波沿垂直于波前面的路径传播时，其时间最短。这个路径就是波场的射线方向，因此也可以说波沿射线方向传播的时间最短。 费马原理也叫费马最小时间原理。它是从射线原理来描述波的传播，克希霍夫积分是从广义绕射理论来描述波的传播。 可以证明，波的主要能量集中在射线方向上或者是在射线附近。 注意：应用费马原理不仅适用于均匀介质，而且适用于非均匀介质。可以利用费马原理进行射