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文档简介

1、第二节,方阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的概念,二、特征值与特征向量的求法,三、特征值与特征向量的基本性质,特征值与特征向量,工程技术中的振动问题和稳定性问题，,及在经济,理论和应用中的一些问题，,往往可归结问求一个方阵,的特征值和特征向量问题。,特征值和特征向量不仅在,理论上很重要，,而且可直接用来解决实际问题。,定义1,一、特征值与特征向量的概念,使方程,的一个特征值,相应的非零向量,设方阵,成立,数,和 n 维非零,列向量,则称数,为,对应的特征向量.,称为,的与,（1）式也可写成,即,（2）式说明特征向量 X 的坐标,是齐次,方程（2）的非零解。,（1）式也可写成,即,是齐

2、次方程（3）的非零解。,因为X为非零向量，,则（3）有非零解,的线性无关的特征向量,则,也是 的对应于特征值 的特征向量.,定理1,证明,因为,所以,已知 线性无关，,不全为零，,是 的对应于特征值,的特征向量。,二、方阵的特征值和特征向量的求法,设,称含参数 的矩阵,为 的特征矩阵,( 的 次多项式),为 的特征多项式,称 为 的特征方程.,称该矩阵的行列式,定义2,数 是方阵 的特征值,非零向量,为A的对应于,的特征向量的充要条件是,定理2,方阵的特征值和特征向量的求法：,1、求出A 的全部特征值，即求,的全部根。,2、求出A 的全部特征向量，,的基础解系,则,属于特征值,的S个线性无关的

3、特征向量。,即求齐次方程组,即对每一个特征值,解出齐次方程组的全部非零解,就是方阵A的,阶方阵 为可逆矩阵，,一个特征值。,例2,是 的,解,的一个特征值与特征,已知,相应的特征向量为X。求,向量。,因为A可逆，所以不为零，从而,对应的特征向量仍为X。,由于,例3 求方阵,的特征值与特征向量。,第一步：求特征值,解,第二步：,解方程,求基础解系，,写出全部特征向量。,X为对应的特征向量。,时的全部特征向量为,当,得同解方程组,令,基础解系为,当,时,解,(k1任意实数）,时,得同解方程组,令,基础解系为,时的全部特征向量为,当,解,(k2任意实数）,得同解方程组,令,基础解系为,时的全部特征向

4、量为,时,当,解,(k3任意实数）,例4,求,的特征值与特征向量。,解,的特征值,（二重），,得基础解系为,解方程,的全部特征向量为,得基础解系为,解方程,的全部特征向量为,三、 特征值与特征向量的基本性质,n阶方阵A与它的转置方阵 AT有相同的特征值。,证明,则,得到 A 与 AT 有相同的特征多项式，,则它们的特征值相同。,性质1,性质2,实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交。,即设,是实对称矩阵A的两个不同的特征值，,是 A 的分别对应于,的特征向量，则,性质3,设 是 阶矩阵 的两个不同特征值，,是对应于 的线性无关特征向量，,是对应于 的线性无关特征向量，,则,线性无关。,性质4,个特征值为,则,推论1,n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个,特征值全不为零。,设,的特征向量，,是实对称矩

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