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文档简介

1、(动力学模型) 动力学是微分方程最早期的源泉之一。动力学的基本定律是牛顿第二定律： ，这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式。,例1 降落伞由高空下落，除受重力作用外，还应受空气阻力的作用。设某跳伞运动员的质量为m，降落伞在下落过程中所受的空气阻力与其速度成正比，且降落伞下落时的初始速度为零，求降落伞下落的速度v = v (t)的变化规律。,三、 微分方程建模的实例,解:设空气阻力系数为k，降落伞在时刻t下落的速度为v(t)，则由题意可知，在时刻t降落伞所受的力为,分离变量，得,由牛顿第二定律列出微分方程,(1),两端积分，得,即,从而，解出V得,又由,可得，,(2),由上式可看出，当t +

2、 时，有,常数；为介质密度； s为物体在地面上的投影面积。当落地速度v1、m、与一定时, 可求出s来。事实上，人们也正是根据公式(4)来为跳伞者设计能保证安全的降落伞的直径大小的。只要跳伞者在空中有足够,据实验测定,其中为与物体形状有关的,于是，所求的特解为,(3),(4),长的停留时间，他到达地面时的速度就近似地等于,所以跳伞者才能安,全降落地面。另外，若不计空气阻力，则跳伞者在空中做自由落体运动，即按照加速度g落到地面。,而且不会超过,常速,例2 人文科学模型,这是一名律师为其当事人辩护需要而建立的数学模型。他的当事人被控嫌疑谋杀，人们怀疑他曾为了逃避追捕从一个很高的窗户上跳下来。辩护律师

3、力图申辩的是：人的腿是虚弱的，如果他从那扇窗户上跳下来，就可能受伤。,问题分析：,建立数学模型是为了估计他着地时的速度，从而判断他能否当即站起来并逃跑。,问题表述：,如果一个人从30ft的高度下落，他触地时的速度是多少？,针对人体下落的情况对一些问题作出判断,（1）人体的下落是自由下落，还是需要考虑空气的阻力； （2）身体的尺寸对下落有影响么？ （3）如果空气阻力是重要的因素，在我们的模型中应该如何对其进行评述。,建立数学模型,下面对模型中的空气阻力进行分析找到合理的数学语言进行描述,经验： 在人们的运动体验中，不论是跑步、骑车、还是走路普遍都感觉到空气阻力的影响，凭借直觉阻力不依赖与距离、时间，但却依赖于速度，,经验： （1）对于小而坚实的物体，比如一块小石头，空气阻力直接和速度成正比； （2）对与一些较为庞大的物体，如人体，空气阻力一般和速度的平方成正比。,该模型中的k可以通过力学中的“极限速度”的概念加以解决，即人体在介质中的下落的极限速度为120mile/h,距离速度关系图表,人从高处安全落地速度相当于该人从12ft高的地方往下跳，从表中查到其触地的速度为19ft/h。,那么对于上述我们得到的结果：如果你从30ft的高处下跳，你撞击地面的速度大约是30mile/h，相当于一辆汽车以每小时30mile 的时速撞击你，无疑你极有可能会受伤。

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