单调性和最值

1、函数的单调性及最值一考纲要求理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.二命题方向利用函数的单调性解决不等式、最值等问题是考查的重点，也可结合导数出研究函数性质的大题；一题多角度考察函数性质是考试的热点三知识解析（一）增函数与减函数的概念增函数减函数定义设函数的定义域为如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数图象描述 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右图象呈下降趋势（二）单调性与单调区间如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的

2、单调区间证明函数的单调性可用定义法，也可用导数证明（三）复合函数的单调性复合函数的单调性：若在区间上的单调性与在（或）上的单调性相同，则复合函数在上递增，否则递减，可简记为“同增异减”即：函数单调情况内层函数 增增减减外层函数 增减增减复合函数 增减减增（四）函数单调性的判断小结1定义法：2导数法：3图象法：4直接法：运用简单函数的单调性直接推断出所求函数的单调性（1）函数与函数的单调性相反；（2）函数 （为常数）与函数的单调性相同；（3）当时，与的单调性相同； 当时，与的单调性相反；（4）若，则函数与的单调性相反；（5）若，则与的单调性相同；（6）若，的单调性相同，则的单调性不变，即在公共区

3、间内： 增增增；减减减；增减增；减增减（7）互为反函数的两个函数有相同的单调性；（8）奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反（9）函数对称中心两侧单调性相同；函数对称轴两侧对称性相反（五）函数的最大（小）值前提设函数的定义域为，如果存在实数满足条件对与任意，都有；存在，使得对与任意，都有；存在，使得结论为最大值为最小值四考点分析考点一：判断函数的单调性例1 下列四个函数中，在区间上为增函数的是（ ）（A）（B）（C）（D）例2 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）例3 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实

4、数的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）例4 如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论正确的是（ ）；（A）（B）（C）（D）例5 若函数在上是减函数，求实数的取值范围考点二：复合函数的单调性例6 求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性 ； ； 例7 函数的图象如图所示，则函数的单调减区间是（ ）（A）（B）（C）和（D）和例8 已知，设，求的单调区间考点三：单调性的应用例9 定义在上的偶函数在上是增函数，若，则适合不等式的的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）例10 函数在上的最大值与最小值之和为，则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）例11 求函数的值域例12 已知

5、函数为上的减函数，若，则 ；若，则实数的取值范围是例13 已知函数，则满足不等式的的取值范围是例14 不等式的解集为例15 对，记，函数的最小值是 考点四：抽象函数的单调性例16 已知函数对于任意，总有，且当时，（）求证：在上是减函数；（）求在上的最大值和最小值例17 已知定义在区间上的函数满足，且当时，（）求的值；（）判断的单调性；（）若，求在上的最小值五巩固练习（一）选择题（1）若函数与在上都是减函数，则在上是（ ）（A）增函数（B）减函数（C）先增后减（D）先减后增（2）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）（A）（B）（C）（D）（3）定义在上的函数在上为增函数，且为偶函数，则下

6、列正确的是（ ）（A）（B）（C）（D）（4）函数的单调递增区间是（ ）（A）（B）（C）和（D）和（5）函数，若在定义域上是减函数，则函数的单调减区间是（ ）（A）（B）（C）（D）（6）设是定义在上的减函数，且，则下列函数 ； ；，其中为增函数的个数为（ ）（A）个（B）个（C）个（D）个（7）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）（A）（B）（C）（D）（8）已知函数为偶函数，其图象与直线某两个交点的横坐标分别为， 若的最小值为，则该函数在区间（ ）上是增函数（A）（B）（C）（D）（9）设，则（ ）（A）（B）（C）（D）（10）已知函数是奇函数且是上的增函数，若满足不等式，则的

7、最大值是（ ）（A）（B）（C）（D）（11）已知函数为上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）（12）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）（二）填空题（13）若函数是偶函数，则的单调减区间是（14）若函数在区间上是单调增函数，则（15）已知定义域为的函数，对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”，已知下列函数： ； ； ； ，其中是“有界函数”的是 （写出所有满足要求的函数的序号）（16）若是上的减函数，且的图象经过点，则不等式的解集是（三）解答题（17）已知函数，求该函数的单调区间，并指出相应的单调性（18）已知函数证明：函数在上为增函数（19）已知在它的定