2018届高考数学黄金解题模板 考点13 导数与函数的极值、最值问题

1、【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.【方法点评】类型一 利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；第二步 求方程的根；第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步 利用结论写出极值.例1 已知.（1）若，求曲线的单调性；（2）若在处取得极大值，求实数的取值范围.【

2、答案】（1）在上为减函数;（2）若，则当时，故在上单调递增；当时，故在上单调递减，所以当时，即，故在上点掉递减，不满足题意.若，则，当时，故在上单调递减，且当时，即；当时，即，又，所以在处取得极大值，满足题意，综上，实数的取值范围是.【变式演练1】已知函数在处有极值10，则等于（ ）A11或18 B11 C18 D17或18【答案】C【解析】试题分析：,或当时,在处不存在极值当时，；,符合题意所以故选C考点：函数的单调性与极值【变式演练2】设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（ ）A BC D【答案】B考点：函数的极值【变式演练3】函数在上无极值，则_.【答案】【解析】试题分析：因为，所以，

3、由得或，又因为函数在上无极值，而，所以只有，时，在上单调，才合题意，故答案为.考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性.【变式演练4】已知等比数列的前项和为，则的极大值为（ ）A2 B C3 D【答案】B考点：1、等比数列的性质；2、利用导数研究函数的单调性及极值【变式演练5】设函数有两个不同的极值点，且对不等式恒成立，则实数的取值范围是【答案】【解析】试题分析：因为,故得不等式,即,由于,令得方程,因 , 故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.【变式演练6】

4、已知函数的极大值点和极小值点都在区间内, 则实数的取值范围是【答案】【解析】试题分析：.考点：导数与极值类型二 求函数在闭区间上的最值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 求出函数在开区间内所有极值点；第二步 计算函数在极值点和端点的函数值；第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.例2 已知函数，.（1）求函数在上的最值；（2）求函数的极值点.【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）见解析.（2）依题意，当时，令，则.因为，所以，其中，.因为，所以，所以当时，当时，所以函数在上是增函数，在上是减函数，故为函数的极大值点，函数无极小值点.【变式演练7】已知.（1）求

5、函数最值；（2）若，求证：.【答案】（1）取最大值，无最小值；（2）详见解析.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，若，则，欲证：，只需证：，函数在单调递减，只需证：，考虑到，即证，也即证下证：，设，故g（x）在上单调递增，故时，g（x）g（0）=0，即f（x）-f（-x）0，.考点：1.导数与函数的最值；2.导数与不等式的证明.【变式演练7】已知函数，.（）求函数在上的最小值；（）若函数有两个不同的极值点且，求实数的取值范围.【答案】（）；（）.当时，在上单调递增，；（），则考点：导数的应用【变式演练8】若函数，在点处的斜率为（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的最大值【答案】（1）；（

6、2）.【高考再现】1.【2017年全国理II，11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）A. B. C. D.1【答案】A【解析】试题分析：由题可得因为，所以，故令，解得或，所以在单调递增，在单调递减所以极小值为，故选A。【考点】 函数的极值；函数的单调性【名师点睛】(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同。(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。2.【2017年高考全国文，12】已知函数有唯一零点，则a=（ ）ABCD1【答案】C 3.【2017浙江，

7、20】=已知函数f(x)=（x）（）（）求f(x)的导函数；（）求f(x)在区间上的取值范围【答案】（）；（）0， 【解析】解得或因为x（）1（）（）-0+0-f（x）0又，所以f（x）在区间）上的取值范围是【考点】导数的应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值4.【2017北京理19，文20】已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间上的最大值和最小值【答

8、案】()；（）最大值1；最小值.【解析】试题分析：（）根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式；（）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调减求函数的最大值，可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，根据单调性求最值.试题解析：（）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.

9、5.【2017江苏,20】已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：; （3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】解：（1）由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，故在R上是增函数，没有极值；时，有两个相异的实根，.列表如下x+00+极大值极小值故的极值点是.从而，因为，所以，故，即.因此.（3）由（1）知，的极值点是，且，.从而因此a的取值范围为.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及

10、零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.6.【2017年全国理II，21】已知函数，且。(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且。【答案】(1)；(2)证明略。（2）由（1）知 ，。设，则。当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增。7.【2017天津理，20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（）求的单调区间；（）设，函数，求证

11、：；（）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.【答案】（1）增区间是，减区间是.（2）（3）证明见解析试题解析：（）由，可得，进而可得.令，解得，或.当x变化时，的变化情况如下表：xWWW.+-+所以，的单调递增区间是，单调递减区间是.（）证明：由，得，.令函数，则.由（）知，当时，故当时，单调递减；当时，单调递增.因此，当时，可得.令函数，则.由（）知，在上单调递增，故当时，单调递增；当时，单调递减.因此，当时，可得.所以，.所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.由（I）知在上单调递增，故，于是.因为当时，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零

12、点，而，故.又因为，均为整数，所以是正整数，从而.所以.所以，只要取，就有.【考点】导数的应用【名师点睛】判断的单调性，只需对函数求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数.8.【2017山东理，20】已知函数，其中是自然对数的底数.（）求曲线在点处的切线方程；（）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（）.（）综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小

13、值，极大值是极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是；极小值是.【解析】试题分析：（）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.，即 .（）由题意得 ，因为，令则所以在上单调递增.因为所以 当时，当时，(1)当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以 当时取得极小值，极小值是 ；【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.【名师点睛】1.函数f (x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是曲线yf (x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yy0f (x0)(xx0)

14、注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.9.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.【答案】试题解析;（）（i）设,则,只有一个零点（ii）设,则当时,；当时,所以在上单

15、调递减,在上单调递增又,取满足且,则,故存在两个零点（iii）设,由得或若,则,故当时,因此在上单调递增又当时,所以不存在两个零点若,则,故当时,；当时,因此在单调递减,在单调递增又当时,所以不存在两个零点综上,的取值范围为（）不妨设,由（）知,在上单调递减,所以等价于,即由于,而,所以设,则所以当时,而,故当时,从而,故考点：导数及其应用10. 【2016高考山东理数】已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.【答案】（）见解析；（）见解析综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在

16、内单调递减，在内单调递增.（）由（）知，时，令，.则， 11.【2016高考江苏卷】已知函数.设.（1）求方程的根;（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。【答案】（1）0 4（2）1【解析】试题解析：（1）因为，所以.方程，即，亦即，所以，于是，解得.由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为4.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则， 12.【2016高考天津理数】设函数,，其中(I)求的单调区间；(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：

17、在区间上的最大值不小于.【答案】（）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为.当时，存在三个单调区间试题解析：（）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得，或.当变化时，的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（）证明：因为存在极值点，所以由（）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；（）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最

18、大值.下面分三种情况同理：（1）当时，由（）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间2由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到13.【2016高考新

19、课标3理数】设函数，其中，记的最大值为（）求；（）求；（）证明【答案】（）；（）；（）见解析【解析】试题分析：（）直接可求；（）分两种情况，结合三角函数的有界性求出，但须注意当时还须进一步分为两种情况求解；（）首先由（）得到，然后分，三种情况证明试题解析：（）（）当时，因此， 4分当时，将变形为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），（）由（）得.当时，.当时，所以.当时，所以.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性【归纳总结】求三角函数的最值通常分为两步：（1）利用两角和与差的三角公式、二倍角公式、诱导公式将解析式化为形如的形式；（2）结合自

20、变量的取值范围，结合正弦曲线与余弦曲线进行求解14. 【2016高考浙江理数】已知，函数F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q=（I）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间0,6上的最大值M（a）.【答案】（I）；（II）（i）；（ii）（ii）当时，当时，所以，考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式【思路点睛】（I）根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数和的最小值，再根据的定义可得；（ii）根据的取值范围求出的最大值，进而可得15

21、. 【2016高考新课标2理数】()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域【答案】（）详见解析；（）.（II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是考点：函数的单调性、极值与最值.【名师点睛】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时

22、，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间注意：求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念16.【2016年高考四川理数】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a R.（）讨论f(x)的单调性；（）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).【答案】（）当时，0，单调递增；（）.【解析】（II）令=，=.则=.而当时，0，所以在区间内单调递增.又由=0，有0，从而当时，0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.由（I）有,从而，所

23、以此时在区间内不恒成立.当时，令，当时，因此，在区间单调递增.又因为，所以当时， ，即 恒成立.综上，考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明函数不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性本题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到有一定的难度【反馈练习】1【辽宁省鞍山市第一中学2018届高三上学期第一次模拟考试数学（

24、文）试题】已知函数f(x)=x2-3x-1,在区间-3，2上最大值为M，最小值为N，则M-N=（ ）A. 20 B. 18 C. 3 D. 0【答案】A 2【华大新高考联盟2018届11月教学质量测评文科数学试卷】若函数满足，则当时，（ ）A. 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值【答案】C3【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第三次模拟考试数学（文）试题】正项等比数列中的是函数的极值点，则的值为（ ）A. B. C. D. 与的值有关【答案】C【解析】，则，故选C。4【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学

25、期第一次联考数学（理）试题】函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（ ）A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值【答案】D 5【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考数学（理）试题】函数的导函数为，满足，且，则的极值情况为（ ）A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值【答案】D【解析】将代入可得：则=令则，当时，当时，故当时，取最大值0，故恒成立，故恒成立，故既无极大值也无极小值，故选点睛：根据已知条件要先构造出的解析式的形式，再根据求出，当一

26、阶导数不能判定时可以求二阶导数，利用二阶导数反应一阶导数的单调性，从而反应出原函数的性质。6【河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考数学（理）试题】已知函数有三个不同的零点，（其中），则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D点睛：先分离变量得到a=，令g（x）=求导后得其极值点，求得函数极值，则使g（x）恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x）=，再令=，转化为关于的方程后由根与系数关系得到1+2=1a0，12=1a0，再结合着=的图象可得到（1）2（1）（1）=17【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试（二）（10月） 数学（理）试题】若函数在上单调递增，则实数的

27、取值范围为_【答案】 8【山西省45校2018届高三第一次联考理数试卷】已知函数满足，当时，设，若方程在上有且仅有个实数解，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时，当时，从而，故有，由，可得，在同一坐标系内画出与的图象如图所示：设为的切线，为切点，由图可知，当位于切线和割线之间时，图象与的图象有三个交点，设，由，可得切线，又过，解得，故，又，当方程在上有且仅有个实数解时，实数的取值范围为，故答案为.【方法点睛】判断方程根的个数的常用方法：直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；数形结合法：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题就利用了方法.9【北京市大兴区20162017学年度第一次综合练习数学理科试题】已