简单的线性规划问题

1、简单的线性规划问题例1：求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：不等式组所表示的平面区域如图所示：例2：若变量x，y满足约束条件，求目标函数zx2y的最大值 解析先作出可行域如图 作直线x2y0在可行域内平移，当x2yz0在y轴上的截距最小时z值最大当移至A(1，1)时，zmax12(1)3，1.在平面直角坐标系中，若点(3t2，t)在直线x2y40的下方，则t的取值范围是(C) A(，2)B(2，) C(2，) D(0,2) 解析点O(0,0)使x2y40成立，且点O在直线下方，故点(3t2，t)在直线x2y40的下方3t22t40，t2.点评可用B值判断法来求解，若

2、B0，令dB(Ax0By0C)，则d0点P(x0，y0)在直线AxByC0的上方；d1 Ba1 Ca1 Da1，故a1，故选D.6已知约束条件若目标函数zxay(a0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为(C) A0a D0a3，a.7.若2x4y4，则点(x，y)必在(D)A直线xy20的左下方B直线xy20的右上方C直线x2y20的右上方D直线x2y20的左下方 解析2x4y2，由条件2x4y4知，24，x2y2，即x2y20，b0)的最大值为12，则的最小值为(A) A. B. C.D4解析由可行域可得，当x4，y6时，目标函数zaxby取得最大值，4a6b12，即1，()(

3、)2，故选A.12设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数yax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是(D)A(0,1) B(1,2) C2,4 D2，) 解析作出可行区域，如图，由题可知点(2，a2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a24，a2或a2，又a0且a1，a2.13在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为(B) A. B. C. D2 解析不等式组的图形如图解得：A(0,1)D(0，1)B(1，2)C(，)SABC|AD|xCxB|2(1)，故选B.14已知动点P(x，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数zkxy(k0)取得最

4、大值的最优解有无穷多个，则k值为(A) A. B. C. D4解析由题可知，当x0时，zkxyy，因此要使目标函数zkxy(k0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y轴上的截距最大由目标函数zkxy(k0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kxy0的倾斜角为120，于是有ktan120，k，选A.15在直角坐标系xOy中，已知AOB的三边所在直线的方程分别为x0，y0,2x3y30，则AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为(B)A95B91C88D75 解析由2x3y30知，y0时，0x15，有16个；y1时，0x13；y2时，0x12；

5、y3时，0x10；y4时，0x9；y5时，0x7；y6时，0x6；y7时，0x4；y8时，0x3；y9时，0x1，y10时，x0.共有161413111087542191个16已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，点P(x，y)S，则z2xy的最大值为_6_ 解析由题意知a2，易得z2xy的最大值为6.17.若由不等式组(n0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m_. 解析根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上，OA为外接圆的直径，直线xmyn与xy0垂直，1，即m.18设变量x，y满足约束条件则目标函数z4xy的最大值为_11_ 解析如图，满足条件的可行域为三角

6、形区域(图中阴影部分)，故z4xy在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.19铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_15_(百万元) 解析设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：目标函数为z3x6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：zmin316215.20某单位投资生产A产品时，每生产1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；

7、投资生产B产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A、B两种产品，那么分别生产A、B两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？解析设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，共获得利润S百万元，则目标函数为S3x2y.作出可行域如图，由解得直线2xy9和2x3y14的交点为A，平移直线yx，当它经过点A时，直线yx在y轴上截距最大，S也最大此时，S3214.75.因此，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元21.北京某商厦计划同时出售新款

8、空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实际情况（如成本、工资）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，通过调查，得到这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金（百元）月资金供应量（百元）洗衣机空调成本2030300工资105110单位利润86试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润刘多少？正解：设空调、洗衣机的月供应量分别为x、y，总利润是p，那么满足条件： 10某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成已知每份稳健型组合投

9、资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？解析设稳健型投资x份，进取型投资y份，利润总额为z(单位：10万元，则目标函数为zx1.5y(单位：10万元)，线性约束条件为：即作出可行域如图，解方程组得交点M(4,2)，作直线l0：x1.5y0，平移l0，当平移后的直线过点M时，z取最大值：zmax(43)10万元70万元答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.(理)(2012辽宁文，9)设变量x，y满足则2x3y的最大值为()A

10、20 B35 C45 D55答案D解析本题考查线性规划的知识作出可行域如图所示：令z2x3y，则yxz.要使z取得最大值，需直线yxz在y轴上的截距最大，移动l0：yx当l0过点C(5,15)时，z取最大值zmax55.解线性规划问题，准确作出可行域是关键，同时还要注意目标函数z2x3y与z2x3y最优解是不同的13(文)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3t，B原料2t；生产每吨乙产品要用A原料1t，B原料3t，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13t，B原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是()A12万

11、元 B20万元C25万元 D27万元答案D解析设生产甲、乙两种产品分别为xt，yt，由题意得获利润5x3y，画出可行域如图，由解得A(3,4)3，当直线5x3y经过A点时，max27.(理)(2011四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，某天需送往A地至少72t的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z()A4650元 B4700元C4900元 D5000

12、元答案C解析设该公司派甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得利润z450x350y，可行域如图所示解得A(7,5)当直线350y450xz过A(7,5)时z取最大值，zmax450735054900(元)故选C.(理)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为

13、何值时，zxP甲yP乙最大，最大值是多少？解析(1)依题意得，解得故甲产品为一等品的概率P甲0.65，乙产品为一等品的概率P乙0.4.(2)依题意得x、y应满足的约束条件为且z0.65x0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域作直线l：0.65x0.4y0即13x8y0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值解方程组得x2，y3.故M的坐标为(2,3)，所以z的最大值为zmax0.6520.432.5.16某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min，生产一个骑兵需7

14、min，生产一个伞兵需4min，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解析(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润W5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为：整理得目标函数为W2x3y300，如图所示，作出可行域初始直线l0：2x3y0，平移初始直线经过点A时，W有最大值，由得最优解为A(50,50)，所以Wmax550(元)答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最

15、大，为550元2已知a，bR，ab1，M2a2b，则M的整数部分是()A1 B2 C3 D4答案B解析a，bR，ab1，0a1，设t2a，则t(1,2)，M2a2b2a21at2，等号在t时成立，又t1或2时，M3，2M0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是()A1,3 B2，C2,9 D，9答案C解析作出不等式表示的平面区域如图，由得A(1,9)，由得B(3,8)，当函数yax过点A时，a9，过点B时，a2，要使yax的图象经过区域M，应有2a9.5(2012河南洛阳市模拟)设变量x，y满足约束条件其中a1，若目标函数zxy的最大值为4，则a的值为_答案2解析作出不等式组表示的平面区域如图

16、中阴影部分所示yxz，欲使z最大，只需使直线yxz的纵截距最大，a1，直线xay7的斜率大于1，故当直线yxz经过直线y3x与直线xay7的交点(，)时，目标函数z取得最大值，最大值为.由题意得4，解得a2.6(2012太原部分重点中学联考)设实数x，y满足不等式组且x2y2的最小值为m，当9m25时，实数k的取值范围是()A(2,5) B2,5C(2,5 D(0,5答案B解析不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x2y2的最小值m即为|OA|2，联立，得A(，)由题知9()2()225，解得2k5.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分作出直线2xy0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x轴上的截距最大，此时z2xy取得最大值，最大值是6，故选C.8某人有楼房一幢，室内面积共计180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房大房间每间面积18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？解析设隔出大房间x间，小房间y间时收益为z元，则x，y满足且z200x150y.约束条件可化简为：可行域为如图所示