线性代数习题解答(同济大学(第四版))

1、第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）； （2）（3）； （4）.解 （1）=（2）（3）（4）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；（5）1 3 2 4 ；（6）1 3 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为：3 2 1个5 2，5 4 2个7 2，7 4，7 6 3个 2， 4， 6， 个（6）逆序数为3 2 1个5 2，5

2、 4 2个 2， 4， 6， 个4 2 1个6 2，6 4 2个 2， 4， 6， 个3.写出四阶行列式中含有因子的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数由于已固定，只能形如，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式：（1）； （2）；（3）； （4）解(1)=0(2) =0(3)=(4) = =5.证明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).证明(1)(2) (3) (4) =(5) 用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即 所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得， ，证明.证明同理可

3、证 7.计算下列各行列式（）：(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；(2);(3) ;提示：利用范德蒙德行列式的结果(4) ;(5);(6),.解(1) ()(2)将第一行乘分别加到其余各行，得再将各列都加到第一列上，得(3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行，经次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式(4) 由此得递推公式： 即 而 得 (5)=(6)8.用克莱姆法则解下列方程组：解(1) (2)()9.有非零解？解 ，齐次线性方程组有非零解，则即 得 不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.10.有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则得 不难验证，当

4、时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1已知线性变换：求从变量到变量的线性变换解由已知：故 2已知两个线性变换 求从到的线性变换解 由已知所以有 3设, 求解4计算下列乘积：(1); (2); (3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6) 5设, ，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解(1), 则 (2) 但故(3) 而 故 6举反列说明下列命题是错误的:（）若,则;（）若,则或;（）若,且,则.解 (1)取 ,但(2)取 ,但且(3)取 且 但7设,求.解 利用数学归纳法证明: 当时,显然成立,假设时成立,则时由数学归纳法原理知:8设,求.解 首先观察

5、由此推测 用数学归纳法证明: 当时,显然成立. 假设时成立，则时，由数学归纳法原理知: 9设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明已知：则 从而 也是对称矩阵.10设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明由已知： 充分性：即是对称矩阵.必要性：.11求下列矩阵的逆矩阵：(1)； (2)； (3); (4);(5); (6)解(1) 故 (2) 故存在从而 (3) , 故存在 而 故 (4) 故(5) 故存在而 从而(6)由对角矩阵的性质知 12解下列矩阵方程：(1); (2);(3);(4).解(1)(2) (3)(4)13利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) (2) 解(

6、1)方程组可表示为 故 从而有 (2) 方程组可表示为 故 故有 14设(为正整数),证明.证明一方面， 另一方面，由有故两端同时右乘就有15设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证明由得两端同时取行列式: 即,故所以可逆,而 故也可逆.由又由16设,求.解由可得故17设,其中,求.解故所以 而 故18设次多项式,记称为方阵的次多项式.(1)设,证明: ,;(2)设,证明: ,.证明(1) i)利用数学归纳法.当时 命题成立,假设时成立,则时 故命题成立.ii)左边=右边(2) i)利用数学归纳法.当时成立假设时成立,则时成立,故命题成立,即 ii) 证明右边=左边19设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：

7、(1)若,则;(2) .证明(1)用反证法证明假设则有由此得这与矛盾，故当时有(2)由于, 则取行列式得到: 若 则若由(1)知此时命题也成立故有20取,验证检验: 而故21设,求及解，令 则故 22设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求解 将分块为其中 为矩阵, 为矩阵为矩阵, 为矩阵则由此得到故 第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1); (2);(3); (4).解(1) (2) (3) (4) 2在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶子式?解在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等于0的阶子式.例如，同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3从矩

8、阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样?解 设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于，故而.4求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,解设为五维向量,且,则所求方阵可为秩为4,不妨设取故满足条件的一个方阵为5求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1); (2)；(3).解(1)二阶子式(2) .二阶子式(3) 秩为3三阶子式6求解下列齐次线性方程组:(1) (2)(3) (4)解(1)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(2)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(3)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(4)对系数矩阵实施行变换:即得故

9、方程组的解为7求解下列非齐次线性方程组:(1) (2) (3) (4) 解(1)对系数的增广矩阵施行行变换,有而,故方程组无解(2)对系数的增广矩阵施行行变换:即得亦即(3)对系数的增广矩阵施行行变换:即得即(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得即8取何值时,非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解(1),即时方程组有唯一解.(2)由得时,方程组无解.(3),由,得时,方程组有无穷多个解.9非齐次线性方程组当取何值时有解？并求出它的解解方程组有解，须得当时,方程组解为当时,方程组解为10设问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求解解当,即且

10、时，有唯一解.当且，即时，无解.当且，即时，有无穷多解.此时，增广矩阵为原方程组的解为 ()11试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：(1); (2).解（1）故逆矩阵为(2)故逆矩阵为12(1)设,求使;(2) 设,求使.解(1) (2) 第四章向量组的线性相关性1设,求及.解 2设其中,求解 由整理得3举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示.(2)若有不全为0的数使成立,则线性相关, 亦线性相关.(3)若只有当全为0时,等式才能成立,则线性无关, 亦线性无关.(4)若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数,使同时成立.解 (1) 设满足线性相关,但不能

11、由线性表示.(2) 有不全为零的数使 原式可化为取其中为单位向量,则上式成立,而 ,均线性相关(3) 由 (仅当)线性无关取取为线性无关组满足以上条件,但不能说是线性无关的.(4) 与题设矛盾.4设,证明向量组线性相关.证明 设有使得则(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2) 若线性无关,则由知此齐次方程存在非零解则线性相关.综合得证.5设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明 设则因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解则所以线性无关6利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ; (2) .解 (1) 所以第1、2、3列构成

12、一个最大无关组.(2) ，所以第1、2、3列构成一个最大无关组7求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1),;(2),.解(1)线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.(2) 秩为2,最大线性无关组为.8设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.证明 维单位向量线性无关不妨设:所以两边取行列式，得由即维向量组所构成矩阵的秩为故线性无关.9设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.证明设为一组维单位向量，对于任意维向量则有即任一维向量都可由单位向量线性表示.线性无关，且能由单位向量线性表示，即故两边取行列式，得由令则由即都能由线性

13、表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：可由线性表示，由8题知线性无关.10设向量组:的秩为,向量组:的秩向量组: 的秩,证明 证明 设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数(秩)分别为,则分别与等价,易知均可由线性表示,则秩()秩(),秩()秩()，即设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示,即可由线性表示,从而可由线性表示，所以秩()秩(),为阶矩阵，所以秩()即.11.证明.证明:设 且行向量组的最大无关组分别为 显然,存在矩阵,使得,因此12设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性

14、无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示,则综上所述知即若令,其中为实数则有又,则由于线性无关,所以即 （1）由于则(1)式等价于下列方程组: 由于所以方程组只有零解.所以线性无关,证毕.13设问是不是向量空间？为什么？证明 集合成为向量空间只需满足条件：若，则若，则是向量空间，因为：且 故故不是向量空间，因为：故故当时，14试证:由所生成的向量空间就是.证明 设 于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间就是.15由所生成的向量空间记作,由所生成的向量空间记作,

15、试证.证明 设任取中一向量,可写成,要证,从而得由得上式中,把看成已知数,把看成未知数 有唯一解同理可证: ()故16验证为的一个基,并把用这个基线性表示.解 由于即矩阵的秩为3故线性无关，则为的一个基.设，则故设，则故线性表示为17求下列齐次线性方程组的基础解系:(1) (2) (3).解(1)所以原方程组等价于取得取得因此基础解系为(2) 所以原方程组等价于取得取得因此基础解系为(3)原方程组即为取得取得取得所以基础解系为18设,求一个矩阵,使,且.解由于,所以可设则由可得,解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵19求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为.解显然原方程组的通解为,()即

16、消去得此即所求的齐次线性方程组.20设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量且，求该方程组的通解解 由于矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：，21设都是阶方阵，且，证明证明 设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量(1) 当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时,，结论成立(2)当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而的列向量组的秩,即,此时,结论成立。综上,22设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明(提示:利用题11

17、及题21的结论)证明所以由21题所证可知又由11题所证可知由此23求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：(1) (2)解(1)(2) 24设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:(1)线性无关；(2) 线性无关。证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数使得下式成立: (1)其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。由于为特解，为基础解系，故得而由(1)式可得故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得产生矛盾,假设不成立, 故线性无关.(2)反证法,假使线性相关.则存在着不全为零的数使得下式成立: （2）即1)

18、 若,由于是线性无关的一组基础解2) 系,故,由(2)式得此时与假设矛盾.3) 若由题(1)知, 线性无关,故与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.25.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足.证明也是它的解.证明 由于是非齐次线性方程组的个解.故有 而即 （）从而也是方程的解26设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解(由题24知它确有个线性无关的解)试证它的任一解可表示为 （其中）.证明设为的任一解由题设知：线性无关且均为的解取，则它的均为的解用反证法证：线性无关反设它们线性相关，则存在不全为零的数：使得即亦即由线性无关知矛盾，故假设不对线性无关，为的一组基由于均为的

19、解，所以为的解可由线性表出令则,证毕第五章 相似矩阵及二次型1试用施密特法把下列向量组正交化：(1)；(2)解(1)根据施密特正交化方法:令，故正交化后得: (2)根据施密特正交化方法令故正交化后得 2下列矩阵是不是正交阵:(1); (2)解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵3设与都是阶正交阵，证明也是正交阵证明 因为是阶正交阵，故，故也是正交阵4求下列矩阵的特征值和特征向量:(1); (2); (3).并问它们的特征向量是否两两正交?解 (1)故的特征值为当时,解方程,由 得基础解系所以是对应于的全部特征值向量当时,解方程,

20、由 得基础解系所以是对应于的全部特征向量故不正交(2)故的特征值为当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量，所以两两正交(3) = , 当时，取为自由未知量，并令，设.故基础解系为当时，可得基础解系综上所述可知原矩阵的特征向量为5设方阵与相似，求.解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即6设都是阶方阵，且，证明与相似证明 则可逆 则与相似7设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为，求.解 根据特征向量的性质知可逆,得:可得得8设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为,求.解 设由，知3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用可推出秩为1.则存在实的使得成立由解得得9试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化