新课标高中数学必修2直线与方程

1、直线与方程直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率（1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线（2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角倾斜角的取值范围是0. 倾斜角范围为.点评：此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.第25练 3.3.1 两条直线的交点坐标基础达标1直线与的交点是（ ）. A. B

2、. C. D. 2直线：2312与：2的交点坐标为 . 3直线20，4310和210相交于一点，则的值为（ ）. A. 1 B. 1 C. 2 D. 24直线与直线的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合5经过直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ）. A. B. C. D. 6已知直线的方程分别为 ，且只有一个公共点，则（ ）. A. B. C. D. 7.，不管怎样变化恒过点_能力提高8已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.探究创新9已知直线方程

3、为(2+)x+(1-2)y+4-3=0.（1）求证不论取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程. 第26讲 3.3.2 两点间的距离学习目标：探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.知识要点：1. 平面内两点，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.例题精讲：过点

4、P(1,2)且与原点O距离最大的直线l的方程（ ）. A. B. C. D. 【例1】在直线上求一点，使它到点的距离为，并求直线的方程.解： 点在直线上， 可设，根据两点的距离公式得,解得，直线PM的方程为， 即.【例2】直线2xy4=0上有一点P，求它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值.（中档）解：找A关于l的对称点A，AB与直线l的交点即为所求的P点. 设, 则yxB(-c,0)A(a,b)C(c,0)O，解得， 所以线段.【例3】已知AO是ABC中BC边的中线，证明|AB|AC|=2（|AO|OC|）（中档）.解：以O为坐标原点，BC为x轴，BC的中垂线为y轴，建立如图

5、所示坐标系xOy.设点A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0),由两点间距离公式得：|AB|=，|AC|=，|AO|=， |OC|=c. |AB|AC|=， |AO|OC|=. |AB|AC|=2（|AO|OC|）.点评：此解体现了解析法的思路. 先建立适当的直角坐标系，将ABC的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明. 还可以作如下推广：平行四边形的性质：平行四边形中，两条对角线的平方和，等于其四边的平方和. oxA(1,a)B(1,b)y三角形的中线长公式：ABC的三边长为a、b、c，则边c上的中线长为.【例4】已知函数，

6、设，且，求证.解：由=，在平面直角坐标系中，取两点，则 , .OAB中， . 故原不等式成立.点评：此证法为数形结合法，由联想到平面内点到原点的距离公式，构造两点与三角形，将要证明的不等式转化为三角形中三边的不等关系.第26练 3.3.2 两点间的距离基础达标1已知，则|AB|等于（ ）. A. 4 B. C. 6 D. 2已知点且，则a的值为（ ）. A. 1 B.5 C. 1或5 D. 1或53点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则的长为（ ）.A. 10 B. 5 C. 8 D. 64已知，点C在x轴上，且AC=BC，则点C的坐标为（ ）. A. B.C. D. 5已知

7、点，点到M、N的距离相等，则点所满足的方程是（ ）.A. B. C. D. 6已知，则BC边上的中线AM的长为 . 7已知点P（2，4）与Q（0，8）关于直线l对称，则直线l的方程为 . PQ中垂线能力提高8已知点，判断的类型9已知，点为直线上的动点求的最小值，及取最小值时点的坐标10.ABC中，. 求A的平分线AD所在直线的方程.（难，讲解）探究创新10燕隼（sun）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似红隼的体形比燕隼略大通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米. 近日在某

8、地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟. 经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A（32.65厘米，25.2厘米），B（33.4厘米，26.9厘米）. 你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？ 第27讲 3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离学习目标：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.知识要点：1. 点到直线的距离公式为.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为.例题精讲：【例1】求过直线和的交点并且与原点相距

9、为1的直线l的方程.解：设所求直线l的方程为, 整理得.由点到直线的距离公式可知，, 解得.代入所设，得到直线l的方程为.【例2】在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离.解：直线方程化为. 设, 则点P到直线的距离为.当时，点到直线的距离最短，最短距离为.【例3】求证直线L：与点的距离不等于3.解：由点线距离公式，得=.假设，得到，整理得. ， 无实根. ，即直线L与点的距离不等于3.点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m，但求解的结果是m无解. 从而假设不成立，即距离不等于3.另解：把直线L：按

10、参数m整理，得.由，解得. 所以直线L恒过定点. 点P到直线L取最大距离时, PQL，即最大距离是PQ=. 3， 直线L与点的距离不等于3.点评：此解妙在运用直线系恒过一个定点的知识，其定点就是与的交点. 由运动与变化观点，当直线PQL时，点线距离为最大.【例4】求直线与的正中平行直线方程.解：直线的方程化为. 设正中平行直线的方程为，则，即，解得. 所以正中平行直线方程为.点评：先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论：两条平行直线，的正中平行直线方程为.第27练 3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离基础达标1（1994全国文）点（0，5）到直线y=

11、2x的距离是（ ）. A. B. C. D. 2动点在直线上，为原点，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 23（03年全国卷）已知点到直线的距离为1，则a=（ ）. ABC D4两平行直线间的距离是（ ）. A. B. C. D. 5直线l过点P(1，2)，且M(2，3)，N(4，5)到的距离相等，则直线的方程是（ ）. A. 4x+y6=0 B. x+4y6=0 C. 2x+3y7=0或x+4y6=0 D. 3x+2y7=0或4x+y6=06与直线l：平行且到的距离为2的直线的方程为 .能力提高7（1）已知点A（，6）到直线342的距离d=4，求的值.（2）在直线求一点, 使它到原

12、点的距离与到直线的距离相等.探究创新8（02全国卷.文）已知点P到两个定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1求直线PN的方程本小题主要考查直线方程、点到直线的距离等基础知识，以及运算能力.满分14分.第28讲两条直线的位置关系到角：直线l1到l2的角是指l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角.设l1到l2的角为1，l2到l1的角为2，则有1（0，），2（0，），且1+2=.当k1k21时，有公式tan1=.当k1k2=1时，l1l2，1=2=.夹角：l1到l2的角1和l2到l1的角2中不大于90的角叫l1和l2的夹角.设为，则有（0，当时，有公式tan=|.1

13、已知两条直线的方程分别是，求两条直线的夹角。2 求直线与直线的夹角。3 已知直线过点，且与直线的夹角为，求直线的方程。4直线绕点逆时针旋转后得到直线，求直线的方程5已知等腰直角三角形ABC的斜边AB所在直线的方程为，直角顶点为，求两条直角边所在直线的方程6已知等腰直角三角形ABC的直角边BC所在直线的方程为，顶点A的坐标为（0，6），求斜边AB和直角边AC所在直线的方程7. 光线沿直线1：照射到直线2：上后反射，求反射线所在直线的方程.8.（如右图）等腰三角形的一个腰所在直线的方程是，底边所在直线的方程是，点在另一腰上，求这条腰所在直线的方程.在平面直角坐标系内，试在轴正半轴上找一点P，使得最

14、大9. 在轴的正半轴上给定两点，点在点上方，试在轴正半轴上求一点，使取到最大值.10.已知三角形的顶点,边的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程.11.是否存在实数，使直线与直线分别有如下的位置关系: (1)平行; (2)重合; (3)相交; (4)垂直; (5)相交,且交点在第二象限.若存在求出的值；若不存在，说明理由.第29讲 第三章 直线与方程 复习学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定平行或垂直；握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；掌握两点间的距离公

15、式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.例题精讲：【例1】（01年全国卷）设A、B是轴上的两点，点P的横坐标为2，且PAPB，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（ ）.A. B. 2 C. D.解法一：由得A（1，0）. 又PAPB知点P为AB中垂线上的点，故B(5，0)，且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补，则斜率互为相反数，故所求直线的斜率为1，所以选C.解法二：0代入得A(1，0). 由, 解得P（2，3）.设B（,0），由PAPB解得5. 由两点式, 整理得，故选C.【例2】一直线被两直线：，：截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与，的交点分别是

16、A、B，设A()，则B点坐标为() 因为A、B分别在，上，所以 , 得：，即点A在直线上，又直线过原点，所以直线的方程为.【例3】求过点且与直线平行的直线方程解一：已知直线的斜率为，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是 根据点斜式，得到所求直线的方程是 即 解二：设与直线平行的直线的方 经过点， ，解之得 所求直线方程为注意：解法一求直线方程的方法是通法，必须掌握；解法二是常常采用的解题技巧。一般地，直线中系数、确定直线的斜率，因此，与直线平行的直线方程可设为，其中待定（直线系）【例4】 求与直线平行，且在两坐标轴上载距之和为的直线的方程。解法一：由于直线与已知直线平行，故设直线的方程

17、为，则交轴于点，交轴于点由题意得：，所以所以所求直线方程为解法二：高直线的方程为由题意可得解得所以直线方程为所求直线方程为【例5】 下面三条直线l1：4xy40，l2：mxy0，l3：2x3my40不能构成三角形，求m的取值集合分析 根据平面几何知识：当三条直线交于一点或至少两条直线平行或重合时，这三条直线不能构成三角形，分两种情况讨论解 （1）三条直线交于一点时：4xy40由解得l1和l2的交点A的坐标（， ），由A在l3上可得23m=4，mxy0解之m或m 1 （2）至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，这三条直线中至少两条直线平行或重合，当m4时，l1l2；当m

18、时，l1l3；若l2l3，则需有，m2不可能，综合（1）、（2）可知，m1，4时，三条直线不能组成三角形，因此m的取值集合是1，4 【例6】求过点，且与直线垂直的直线的方程。解：已知直线的斜率为，直线与已知直线垂直，的斜率为，所以，所求直线的方程为，即另解：设与直线垂直的直线方程为，直线经过点，所以，所求直线的方程为【例7】选择题1若直线 平行，那么系数a等于()ABCD2下列各组直线中，两条直线互相平行的是（ ）与 与与 与3直线的位置关系是 （ ） （A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定4.以（，），（，）为端点的线段的垂直平分线方程是（）3x-y-8=0 B 3x+y

19、+4=0C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=05直线Ax+By+C=0与直线x+3y-5=0垂直，则系数A，B，C之间的关系一定是 A3A+B=0 BA+3B=0 C3A=B+C D3B=A+C【例8】 求点P关于直线对称的点的坐标。【例9】求直线关于点对称的直线方程。【例10】 光线从A（3，4）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（1，6），求BC所在直线的方程.【例11】已知点M（3，5），在直线l：x2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小.剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结

20、MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的MPQ的周长最小. 【例12】在三角形ABC中，BC边上的高所在直线方程是，的内角平分线所在直线方程是，若点B的坐标是，求顶点A、C的坐标。【例13】已知直线l1：(m+2)x+(m2-3m)y+4=0，l2：2x+4(m-3)y-1=0，如果l1l2，求m的值【例14】已知直线的方程为，求直线的方程，使与垂直且与坐标轴围成的三角形面积为【例15】已知ABC的一个顶点A（1，4），B、C的平分线所在直线的方程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程.【例16】求函数的最

21、小值。xyo3925519GBA 【例17】在东方红学校的东南方有一块如图所示的地，其中两面是不能动的围墙，在边界OAB内是不能动的一些体育设施现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？【例18】求过点P（5，2），且与直线xy+5=0相交成45角的直线l的方程.【例19】等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x2y2=0，底边所在直线l2的方程是x+y1=0，点（2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l3的方程.剖析：依到角公式求出l3的斜率，再用点斜式可求l3的方程.第28练 第三章 直线与方程 复习基础达标1(03年春安徽理)在x轴和y轴上的截距分别