高中数学 一元二次不等式学案 苏教版必修

1、一元二次不等式一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议解一元二次不等式类比掌握类比一次函数、一元一次不等式、一元一次方程之间的关系，通过一元二次方程的解、二次函数的图像探求一元二次不等式的解法，熟悉三个二次型的相互转换一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的联系数形结合理解二、 预习指导1 预习目标(1)回顾一次函数、一元一次不等式、一元一次方程之间的关系；(2)探究一元二次不等式的解法2 预习提纲(1) 复习一次函数、一元一次方程，一元一次不等式三者关系 完成下表空白处一次函数的图象xyy=ax+bOxyy=ax+bO一元一次方程的解一元一次不等式的解一元一次不等式的解一次函数、一元一次

2、方程、一元一次不等式三者关系是：一次函数所表示的直线与x轴的交点的横坐标是对应的一元一次方程的根，直线在x轴上方(或下方)的点的横坐标的取值范围就是一元一次不等式的解(2) 类比探究“一次函数、一元一次方程、一元一次不等式”三者之间的关系的做法，我们可以从一元二次方程的解、二次函数的图像探求一元二次不等式的解法 对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，设b24ac，它的解的情形按照0，0，0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解；相应地，抛物线yax2bxc(a0)与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如下图所示)；因此，我们可以分下列三种情况讨论对应

3、的一元二次不等式ax2bxc0(a0)与ax2bxc0(a0)的解xyxyx1yx2x1，2(1)当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2bxc0有两个不相等的实数根x1和x2(x1x2)，由图可知：不等式ax2bxc0的解为 xx1，或xx2； 不等式ax2bxc0的解为x1xx2 当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2bxc0有两个相等的实数根x1x2，由图可知：不等式ax2bxc0的解为 x； 不等式ax2bxc0无解当0时，抛物线yax2bxc(a0)与x轴没有公共点，方程ax2bxc0没有实数根，由

4、图可知：不等式ax2bxc0的解为一切实数；不等式ax2bxc0无解 我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式 若不等式为ax2bxc0和ax2bxc0(a0)，其解的情况如何？设,是方程的两实根，且，则不等式的解集如下表：(完成表格空白处)的图象xyx1x2x1，2xyxy一切实数或3 典型例题例1 (1)当x为何值时，x2x6的值等于0；大于0；小于0(2)当x为何值时，函数yx2x6图像上的点在x轴上；图像上的点在x轴的上方；图像上的点在x

5、轴的下方分析：从一元二次方程的解、二次函数的图像探求一元二次不等式的解法解：方程x2x60的根就是函数yx2x6的图像与x轴交点的横坐标；不等式x2x60的解就是函数yx2x6的图像在x轴上方的点的横坐标；不等式x2x60的解就是函数yx2x6的图像在x轴下方的点的横坐标例2 解不等式： (1)x22x30； (2)xx260； (3)4x24x10； (4)x26x90； (5)4xx20； (6).分析：解一元二次不等式时，通常这样操作：(1)如果二次项系数小于零，那么在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式；如果二次项系数大于零，那么直接做(2)；(2)求b24ac，判断

6、0，0，0；(3)不等式的解按照0，0，0的情形，利用学习指导的结论直接求若不等式为ax2bxc0和ax2bxc0(a0)，结合图像对解的情况作相应调整解：(1)0，方程x22x30的解是x13，x21不等式的解为3x1；(2)整理，得x2x600，方程x2x60的解为 x12，x23；原不等式的解为 x2，或x3；(3)整理，得(2x1)20由于上式对任意实数x都成立，原不等式的解为一切实数；(4)整理，得(x3)20由于x3时，(x3)20成立；而对任意的实数x，(x3)20都不成立，原不等式的解为x3；(5)整理，得x2x400，所以，原不等式的解为一切实数；(6)方程，0，所以，原不等

7、式无解例3 已知不等式的解是，求不等式的解分析:本例利用方程与不等式之间的相互关系来解决问题解:由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，即 由于，所以不等式可化为 ，即 整理，得 所以，不等式的解是x1，或x例4 已知不等式x 2ax10的解为一切实数，求a的取值范围.分析：利用函数与不等式之间关系来解决问题.对照预习提纲中一元二次不等式解的分类的表格我们可以得出解：由题意可得 = a 2 4 0，2a2例5 解关于x的不等式，其中解:由一元二次方程的根为知，(1)当，即时二次函数的草图为：故原不等式的解为 ；(2)即时二次函数的草图为：故原不等式的解为；(3)，即a1时二次函数的草图

8、为：故原不等式无解 综上，当时，原不等式的解为；当时，原不等式解为；当时，原不等式无解点评:本题需要对方程的两根大小进行分类讨论.4 自我检测(1) 已知函数的图象与轴的两个交点横坐标分别为，则当取何值时，,当取何值时，？(2) 解下列一元二次不等式： ； ； ； (3) 若不等式ax 2 bx 2 0的解为 x ，则a _，b _三、 课后巩固练习 A组1解下列不等式：(1)3x2x40； (2)x2x120；(3)x23x40； (4)168xx20； (5)3x22x10； (6)3x240；(7)2xx21； (8)9x20；(9)2x23x20； (10)3x25x2；(11)； (

9、12)2若2是不等式的一个解，则正整数_3若满足,化简.B组4解下列关于的不等式：；5若关于的不等式的解为，则实数=_6若关于的二次不等式的解为则=_7若式子对一切实数都大于-3，则的取值范围为_8关于x的不等式x2xk0的解为一切实数，实数k的取值范围是_9关于x的一元二次不等式mx23mxm20的解为一切实数,则实数m的取值为_10已知关于x不等式2x2bxc0的解为x1，或x3试解关于x的不等式bx2cx4011已知关于x的不等式(ab)x(2a3b)0的解为，求关于x的不等式(a3b)x(b2a)0的解12若关于x的不等式ax2bxc0的解为，求关于x的不等式cx2bxa0的解C组13

10、关于x的不等式mx2-2mx+m-10无解, 则m的取值范围是_14求的值，使得关于的不等式的解分别为15函数的图象都在轴上方，求实数的取值范围16若关于的方程的两个实根同号，求实数的取值范围17若关于的方程组有实数解，求实数的取值范围18设是方程的两实根，(1)求的范围(2)当为何值时，有最小值，求出这个最小值四、 学习心得五、 拓展视野请将例5中“”这一条件去掉，重新求解该题.分式不等式和简单的高次不等式的解法一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议分式不等式化归为整式不等式理解分式不等式化归为整式不等式求解，注意等价性；高次不等式用序轴标根法求解.高次不等式序轴标根法了解二、 预习指

11、导1 预习目标熟悉分式不等式与高次不等式的解法原理，能熟练运用“序轴标根法”解不等式.2 预习提纲(1) 分式不等式的解法问题1 解不等式：解法1：化为两个不等式组来解：，原不等式的解是解法2：化为二次不等式来解： ， 原不等式的解是变式1：解不等式解：，的解是7x3变式2：解不等式解：，归纳解分式不等式的步骤： 化分式不等式为标准型：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式； 将分式不等式转化为整式不等式求解： ；(2) 可因式分解的高次不等式解法问题2：解一元二次不等式(x3)(x1)0方法一：利用上一节的方法求解；方法二： 求根：令(x1)(x3)0，解得x(从小到大排列)分别为3，1，这

12、两根将x轴分为三部分：x3 , 3x1 , x1 分析这三部分中原不等式左边各因式的符号x33x1x1x3x1(x1)(x3) 由上表可知，原不等式(x3)(x1)0的解|3x1变式：(x1)(x4)(x3)0分析： 检查各因式中x的符号均为正； 求得相应方程的根为：4，1，3； 列表如下：x44x11x3x3x4x1x3各因式积 由上表可知，原不等式的解为：4x1或x3小结：此法叫列表法，解题步骤是： 将不等式化为形式(各项x的符号化“”)，求出方程 的各根，且各根均不相等； 按各根把实数分成的n1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列)； 计算各

13、范围内各因式的符号，最下面一行是乘积的符号； 看下面积的符号写出不等式的解集另外，列表法的步骤我们还可以画图求解，称之为序轴标根法(零点分段法) 将不等式化为形式，并将各因式x的系数化“”； 求方程各根，并在数轴上表示出来(从小根到大根按从左至右方向表示)； 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点； 若不等式(x的系数化“”后)是“0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间xnxn1x3x2x1说明：注意不等式若带“”号，点画为实心，解集边界处应有等号3 典型例题例1 解下列不等式：(1)； (2)分析：将分式不等式恒等转化为整式不等式解：(1)原不等式等价于

14、：，解得：；(2)原不等式等价于： ，解得：或例2 解下列不等式：(1)；(2)分析：分式不等式的右端不为0，则需恒等转化为右端为0 的情况解：(1)该不等式可以转化为：即解得：； (2)该不等式可以恒等转化为：即，解得：例3 解不等式分析：先在序轴上标出零点(标出根)，根标出来后，标出综合因式的正负号，再根据题目要求，直接写出不等式的解 解：如图，不等式的解为例4 解不等式解：先将原不等式等价化为且，即且，用“数轴标根法”原不等式的解是点评：对分式不等式在标根时要注意根的取舍，否则会产生增根或失根的误解4 自我检测(1)不等式的解是 (2)不等式的解是 (3)不等式的解是_(4)解下列高次不

15、等式：；三、 课后巩固练习A组1解下列关于x的不等式：(1) (2)；(3) ； (4) 2解下列关于x 的不等式：(1) (12x)(x1)(x2) 0；(2)(x1)(2x3)(3x1) 0；(3)(x3)(x2)(x5)0；(4)(x1)(x2)(x7)(x5)0； (6)；(7)；(8) B组3解不等式：(1) x32x25x60；(2) 4解不等式：05不等式的解是_C组6解关于的不等式.7(1)不等式的解为 _；(2)不等式的解为_；(3) 不等式(x24)(x1)2(x1)30的解为 _；(4) 不等式的解为_；(5)不等式的解为_四、 学习心得五、 拓展视野含重因式的高次不等式的解法例1 解不等式.解: 检查各因式中x的符号均正； 求得相应方程的根为：1，2，3(注意：2是二重根，3是三重根)； 在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次(自右上方开始)，如下图： 原不等式的解集为点评：因为3是三重根，2是二重根，穿线的的原则是遇到奇数重根就穿过，遇到偶数重根折返，所以采用数轴标根法解决简单高次不等式的方法是“从右往左，从上到下，遇奇穿过，遇偶折返”例2 解关于的不等式：解：此不等式是含参数的高次不等式，是不等式对应方程的其中一根，但对它的位置我们无法确定，因此要对的所处位置进行讨论将二次项系数化“”并分解为：；相应方程的根为：讨论：)当，即时，各根在数轴上的