高中数学 第十三课 三角函数的性质教案 苏教版必修

1、第十三课时 三角函数的性质教学目标：理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：.课题导入上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或(，)，分别记作：ysinx，xRycosx，xR(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以sinx1，cosx1，即1sinx1，1cosx1也就是说，正弦函数、

2、余弦函数的值域都是1，1.其中正弦函数y=sinx，xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1.当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1.而余弦函数ycosx，xR当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1.当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1.(3)周期性由 (kZ)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知，2，4，2，4，2k(kZ且k0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期

3、中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2.(4)奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.(5)单调性从ysinx，x，的图象上可看出：当x，时，曲线逐渐上升，sinx的值由1增大到1.当x，时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一

4、个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.例1求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.(1)ycosx1，xR； (2)ysin2x，xR.解：(1)使函数ycosx1，xR取得最大值的x的集合，就是使函数ycosx，xR取得最大值的x的集合xx2k，kZ.函数ycosx1，xR的最大值是112.(2)令Z2x，那么xR必须并且只需ZR，且使函数ysinZ，ZR取得最大值的Z的集合是ZZ2k，kZ由2xZ2k，得xk即：使函数ysin2x，xR取得最大值的x的集合是xxk，kZ.函数ysin2x，xR的最大值是1.例2求下列函数的定义域：(1)y1 (

5、2)y解：(1)由1sinx0，得sinx1即x2k(kZ)原函数的定义域为xx2k，kZ(2)由cosx0得2kx2k(kZ)原函数的定义域为2k，2k(kZ)例3求下列函数的单调递增区间：ycos(2x)；y3sin()解：设u2x，则ycosu当2ku2k时ycosu随u的增大而增大又u2x随xR增大而增大ycos(2x)当2k2x2k(kZ)即kxk时，y随x增大而增大ycos(2x)的单调递增区间为：k，k(kZ)设u，则y3sinu当2ku2k时，y3sinu随x增大在减小，又u随xR增大在减小 y3sin()当2k2k即4kx4k时，y随x增大而增大y3sin()的单调递增区间为

6、 4k，4k(kZ).课堂练习课本P33 17.课时小结通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.课后作业课本P46 习题 2、3、4课后练习：1给出下列命题：ysinx在第一象限是增函数；是锐角，则ysin()的值域是1，1；ysinx的周期是2；ysin2xcos2x的最小值是1；其中正确的命题的序号是_.分析:ysinx是周期函数，自变量x的取值可周期性出现，如反例：令x1，x22，此时x1x2而sinsin(2) 错误；当为锐角时，由图象可知sin()1错误；ysinx(xR)是偶函数.其图象是关于y轴对称，可看出它不是周期函数.错误；ysin2x

7、cos2xcos2x，最小值为1正确.答案：评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.2求下列函数的定义域和值域：(1)ylg(sinx) (2)y2分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.解：(1)要使lg(sinx)有意义，必须且只须sinx，解之得：2kx2k，kZ又0sinx1lg(sinx)lg(1)定义域为(2k，2k)，(kZ)值域为(，lg(1).(2)要使2有意义，必须且只须2cos3x10，即cos3x，解之得2k3x2k即 x，kZ.又02cos3x11故022 定义域为，kZ值域为0，2评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小：(1)sin195与cos170;(2)cos，sin，cos(3)sin(sin)，sin().分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.解：(1)sin195sin(18015)sin15cos170cos(18010)cos10sin800158090又ysinx在0，90上是递增函数，sin15sin80 sin15sin80sin195cos1