三角函数的两角和与差[59页]

1、第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣填一填 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式: C(-):cos(-)=_. C(+):cos(+)=_. S(+):sin(+)=_. S(-):sin(-)=_.,coscos+sinsin,coscos-sinsin,sincos+cossin,sincos-cossin,T(+):tan(+)=_(,+ +k,kZ). T(-):tan(-)=_(,- +k,kZ).,(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式: S2:sin2=_. C2:cos2=_=_=_. T2:tan2=_( +k,且k+ ,kZ).,2

2、sincos,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,2.必备结论 教材提炼记一记 (1)降幂公式:cos2= ,sin2= (2)升幂公式:1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2. (3)公式变形:tantan=tan()(1tantan). 3.必用技法 核心总结看一看 (1)常用方法:整体代入法,配凑法. (2)数学思想:转化化归思想.,(3)记忆口诀: 余余正正符号异, 正余余正符号同, 二倍角,数余弦, 找联系,抓特点, 牢记忆,用不难.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考判一判 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的.() (2)存在实数,使等式

3、sin(+)=sin+sin成立.() (3)公式tan(+)= 可以变形为tan+tan= tan(+)(1-tantan),且对任意角,都成立.() (4)存在实数,使tan 2=2tan.(),【解析】(1)正确.对于任意的实数,两角和与差的正弦、余弦公式都成立. (2)正确.如取=0,因为sin0=0, 所以sin(+0)=sin=sin+sin0. (3)错误.变形可以,但不是对任意角,都成立. ,+k+ ,kZ. (4)正确.当=k(kZ)时,tan 2=2tan. 答案:(1)(2)(3)(4),2.教材改编 链接教材练一练 (1)(必修4人教AP130例4T(1)改编)sin1

4、08cos42-cos72sin42=. 【解析】原式=sin(180-72)cos42-cos72sin42 =sin72cos42-cos72sin42 =sin(72-42)=sin30= . 答案:,(2)(必修4人教AP137A组T5改编)已知 则cos =_.,【解析】因为 答案：,3.真题小试 感悟考题试一试 (1)(2014上海高考)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是. 【解析】y=-2cos2(2x)-1=-cos4x, 所以函数的最小正周期T= . 答案:,(2)(2014新课标全国卷)函数f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+) 的最大值为. 【解析】

5、因为f(x)=sin(x+2)-2sincos(x+) =sin(x+)cos+cos(x+)sin-2sincos(x+) =sin(x+)cos-cos(x+)sin =sinx1.所以f(x)max=1. 答案:1,考点1 化简与计算 【典例1】(1)(2015合肥模拟)cos(+)cos+ sin(+)sin=() A.sin(+2)B.sinC.cos(+2)D.cos (2)计算tan25+tan35+ tan25tan35=. (3) 的化简结果是.,【解题提示】(1)逆用两角差的余弦公式化简. (2)观察式子的特点,逆用两角和的正切公式计算. (3)应用二倍角的正、余弦公式化简

6、.,【规范解答】(1)选D.cos(+)cos+sin(+)sin =cos(+)-=cos. (2)因为tan(25+35)= 所以tan25+tan35=tan60(1-tan25tan35) = - tan25tan35, 所以tan25+tan35+ tan25tan35 = - tan25tan35+ tan25tan35= . 答案:,(3)原式= =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|, 因为 所以cos 40,且sin 4cos 4, 所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4. 答案:-2sin 4,【易错警示】解答本例(3)有三点容易出

7、错: (1)想不到应用二倍角公式,不能把根号下的式子化为完全平方式. (2)把4与4弧度混淆,导致开方出错. (3)忽略讨论cos4的符号及sin4与cos4的大小而直接开方导致出错.,【互动探究】对于本例(2),试化简tan+tan(60-)+ tantan(60-). 【解析】因为tan+(60-)= 所以tan+tan(60-) =tan601-tantan(60-) = - tantan(60-), 故原式= - tantan(60-)+ tantan(60-) = .,【规律方法】 1.三角函数式化简的要求 (1)能求出值的应求出值. (2)尽量使函数种数最少. (3)尽量使项数最少

8、. (4)尽量使分母不含三角函数. (5)尽量使被开方数不含三角函数.,2.特殊角的三角函数值的逆用 当式子中出现 这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提示.可以根据问题的需要,将常用三角函数式表示出来,构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.,【变式训练】1.化简sin(+)cos(-)-cos(+)sin(-) =. 【解析】原式=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-) =sin(+)+(-) =sin(+). 答案:sin(+),2.(2015西宁模拟)计算: =. 【解析】 =tan(45-15)=tan30= . 答案:,【加固训练】1.化简 的结果是(

9、) A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1 【解析】选C.原式=,2.化简： =_. 【解析】 答案：,3.计算 =_. 【解析】因为tan(20+40)= 所以tan 20+tan 40= (1-tan 20tan 40), 所以原式= 答案：-,考点2 三角函数求值 【典例2】(1)(2015临沂模拟)计算 的值为() (2)计算:4sin40-tan40=. (3)(2015成都模拟)计算cos40(1+ tan10)=.,【解题提示】(1)利用诱导公式化大角为小角,然后逆用二倍角公式求值. (2)切化弦,通分化简求值. (3)切化弦,通分,注意逆用两角和

10、与差的三角函数公式.,【规范解答】(1)选A.原式=,答案：1,【一题多解】解答本例(2)，你还有其他解法吗？ 解答本例(2)还可有如下解法： 原式=4sin 40- 答案：,【规律方法】给角求值问题的三个变换技巧 (1)变角:分析角之间的差异,巧用诱导公式把大角统一到小角上来,或把某一非特殊角拆分成一特殊角与另一非特殊角的和. (2)变名:尽可能使得函数统一名称,常化弦为切. (3)变式:观察结构,利用公式,整体化简. 提醒:“变式”时常用的方法有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.,【变式训练】(2015南宁模拟)计算： =_. 【解析】 答案：2,【

11、加固训练】1.(2015昆明模拟)计算： =( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 【解析】选D.,2.(2015三明模拟)计算： _,【解析】原式 答案：,考点3 三角函数的条件求值 知考情 利用和、差公式及倍角公式在已知条件下的求值问题是高考的热点,常与平面向量的知识相结合,题型是三种类型都有,但近几年常以解答题的形式出现.,明角度 命题角度1:与平面向量相结合的条件求值 【典例3】(2014陕西高考改编)设0 ,向量a=(sin2, cos),b=(1,-cos),若ab=0,则sin2+cos2=. 【解题提示】先由向量的运算得到sin与cos的关系,再由此关系式确定方向,求sin

12、2+cos2的值.,【规范解答】因为ab=0,所以sin2-cos2=0,即2sincos =cos2.因为(0, ),所以2sin=cos,即tan= , 所以sin2+cos2= 答案:,命题角度2：三角函数的给值求值 【典例4】(2014江苏高考)已知( ,),sin = (1)求sin( +)的值. (2)求cos( -2)的值. 【解题提示】(1)先由条件求cos 的值，再求sin( +)的值. (2)由sin ,cos 的值，先求sin 2,cos 2的值,再求 cos( -2)的值.,【规范解答】(1)由题意cos = 所以sin( +)=sin cos +cos sin ,命题

13、角度3：和函数相结合的条件求值 【典例5】(2014广东高考)已知函数f(x)=Asin(x+ )，xR， 且 (1)求A的值. (2)若f()+f()= ,(0, )，求f( ). 【解题提示】(1)属于给角求值问题，把 代入解析式求得A. (2)利用两角和与差的正弦和诱导公式及同角三角函数的关系求解.,【解析】(1)由 (2)f()+f()=,悟技法 1.与向量有关的求值问题的解法 三角函数的求值问题常与向量的坐标运算有关联,这类问题需要先用向量公式进行运算后,再用三角公式进行化简和求值. 2.给值求值问题的解法 已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子,再观察已知条件与所求值的式子之间的

14、联系(从三角函数名及角入手),最后将已知条件及其变形代入所求式子,化简求值.,3.和三角函数相结合的条件求值的解法 该类问题的解答常先根据条件确定解析式并化简函数解析式,然后把已知条件代入函数解析式化简并求相关的值,变形成要求的式子并代入前面所求的值计算.,通一类 1.(2013江西高考改编)若 则cos2=. 【解析】因为 所以cos= cos2=2cos2-1= 答案:-,2.(2015大同模拟)已知向量a=(4,5cos),b=(3,-4tan). 若ab,且(0, ),则cos(2- )=.,【解析】因为ab，所以ab0， 即12-20cos tan 0，所以12-20sin 0，即s

15、in 因为(0， )，所以cos 所以sin 22sin cos ，cos 21-2sin2 所以cos(2- )cos 2cos +sin 2sin 答案：,3.(2014四川高考改编)已知函数f(x)=sin(3x+ ).若是第二象 限角，f( )= cos(+ )cos 2，求cos -sin 的值.,【解析】由已知，有sin(+ )= cos(+ )cos 2, 所以sin cos +cos sin = (cos cos -sin sin )(cos2-sin2), 即sin +cos = (cos -sin )2(cos +sin ). 当sin +cos =0时，由是第二象限角， 知=2k+ (kZ), 此时cos -sin =cos -sin =- .,当sin +cos 0时，有(cos -sin )2= ，由是第二象 限角，知cos -sin 0，此时cos -sin =- 综上，cos -sin =- 或cos -sin =-,自我纠错10 条件求值问题 【典例】(2015南京模拟)已知sin（x- ）= ,x(,2)， 则 =_.,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:解题