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文档简介
1、用函数观点看 一元二次方程,我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.,一元二次方程根的情况与b-4ac的关系,问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t 5 t2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时间? (4)球从飞出到落地要用多少时间?,解:(1
2、)解方程 15=20t-5t t-4t+3=0 t =1, t =3. 当球飞行1s和2s时, 它的高度为15m。,?,h,t,(2)解方程 20=20t-5t t-4t+4=0 t = t =2. 当球飞行2s时, 它的高度为20m。,(4)解方程 0=20t-5t t-4t=0 t =0, t =4. 当球飞行0s和4s时, 它的高度为0m,即0s飞出,4s时落回地面。,(3)解方程 20.5=20t-5t t-4t+4.1=0 (-4)-4*4.10, 方程无实数根,(2、20),例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.,就是求方程3=-X2+4x的解,例如,解方程X
3、2-4x+3=0,就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值.,结论:一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),观察:下列二次函数的图 象与x轴有公共点吗?如 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,y=x-6x+9,Y=x+x-2,Y=x-
4、x+1,x,y,?,(1)设y=0得x2+x-2=0 x1=1,x2=-2 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,公共点的横坐标分别是1和-2,当x取公共的的横坐标的值时,函数的值为0.,(2)设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点,公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐标的值时,函数的值为0.,(3)设y=0得x2-x+1=0 b2-4ac=(-1)2-4*1*1=-30 方程x2-x+1=0没有实数根 抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,Y=x+x-2,Y=x-x+1,y=x-6x+9,x,y,(-2、0),(1、0),有两个交点,有
5、两个不相等的实数根,b2-4ac 0,只有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,归纳:,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点,二次函数与一元二次方程,b2 4ac 0,b2 4ac= 0,b2 4ac 0,若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则,b2 4ac,0,0,=0,0,O,X,Y,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,与x轴有两个不 同的交点 (
6、x1,0) (x2,0),有两个不同的解x=x1,x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个 交点,有两个相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,与x轴没有 交点,没有实数根,b2-4ac0,例,方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; (-1.3、0)、(2.3、0) (3)得出方程的解. x =-1.3,x =2.3。,利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根(精确到0.1).,?,x,y,用你学过的一元二次方程的解法来解, 准确答案是什么?,基础练习:,1.不与x轴相交的抛物线是( ) A y=2x2 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 3x D y
7、=-2(x+1)2 - 3,2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a0,c0时,图象与x轴交点情况是( ) A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D不能确定,D,C,3、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则 一元二次方程ax+bx+c=0的解是 .,X,Y,0,5,2,2,4、若抛物线y=ax2+bx+c,当 a0,c0时,图象与x轴交点情况是( ) A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D不能确定,C,X1=0,x2=5,知识巩固:,1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点,与x轴交于点.,2.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2
8、=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.,归纳:一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),(0,-5),(5/2,0) (-1,0),(-2,0) (5/3,0),3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3 ,x2=,-3.3,x,A,1.3,.,思考:已知抛物线y=x2 + mx +m 2 求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.,冲击中考:,1.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是.,2.直线 y=2x+1 与抛物线 y= x2 + 4x +3 有个交点.
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