高中数学《柱、锥、台和球的体积》学案2 新人教B版必修

1、空间几何体的表面积与体积要点精析一、 学习目标1掌握棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台侧面展开图的形状，会求它的侧面积和其表面积； 2掌握棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台的侧面积与体积公式之间的联系与区别，并熟悉它们之间的转化关系3了解球的体积公式和表面积公式的推导方法，即“分割求近似和化成准确值”的基本方法，掌握球的体积、表面积公式并灵活运用二、 知识网络柱、锥、台体三者之间存在着特定的联系柱、锥、台的侧面积与体积公式都可以同台体的侧面积和体积公式统一起来：当=时，；当= 0时，；当=时，；当= 0时，其中、分别是正棱台的上、下底面的周长，、分别是正棱台上下底的面积三、 要点梳理、空间几何

2、体的表面积1棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的周长与高分别为长和高的矩形如果设直棱柱底面周长为c，高为h，则侧面积= ch若长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则其表面积= 2(abbcca)2圆柱的侧面展开图是一个矩形矩形的高是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长如果设圆柱母线的长为，底面半径为r，那么圆柱的侧面积=，此时圆柱底面面积=所以圆柱的表面积=3圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形如果设圆锥底面半径为r，母线长为，则侧面积=，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即

3、为S =4正棱锥的侧面展开图是n个全等的等腰三角形如果设正棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高为，则它的侧面积=而棱锥的表面积等于侧面积与底面积的和5正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和如果设正棱台的上、下底面的周长是、，斜高是，那么它的侧面积是=棱台的表面积等于它的侧面积与上、下底面的和6圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环如果设圆台的上、下底面半径分别为、，母线长为，那么它的侧面积是=()圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面的和，即S =()=7将球以球心为顶点切割成n个部分，每部分近似地看成是锥体，其高近似地看成球的半径R，所有的底面面

4、积之和近似地看成为球面面积，当“n”时，其体积之和极限即为球的体积由 V=，求得球的表面积S =即球的表面积等于其大圆面积的四倍、空间几何体的体积1柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积即= Sh其中底面半径是r，高是h时的圆柱的体积是：=2如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积是S，高是h，那么它的体积是：=Sh其中底面半径是r，高是h时的圆锥的体积是：=就是说，锥体的体积是其同底等高柱体体积的3如果台体(棱台、圆台)的上下底面积分别是、，高是h，那么它的体积是：=()h其中圆台的上、下底半径分别是、，高是h时的体积是：=(RrR)h4将半球用平行大圆的平面均匀切成n个部分，分别求其

5、体积(每部分近似地看成圆柱)，而后求和，用正整数平方和公式整理，即用“无限分割、求和，取极限”的方法求得球的体积公式四、特别提示：1底面积相等并且高也相等的两个柱体(棱柱、圆柱)的体积相等；底面积相等并且高也相等的两个锥体(棱锥、圆锥)的体积相等2对于斜棱柱，它的侧面展开图是由若干个平行四边形组成的不规则的图形，因此，斜棱柱的侧面积可通过分析侧面的形状逐个求得，或者用直截面(即垂直于侧棱的截面)的周长乘以侧棱长求得斜棱柱的体积可用直截面面积与侧棱长乘积求得3锥体的体积计算，在立体几何体积计算中，占有重要的位置，它可补成柱体，可置换底面、置换顶点，在计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使

6、解题过程简化卓越的女数学家翻开数学史，有许许多多的数学家，他们仿佛天上的繁星，在数学王国的上空闪闪发光可我们不难发现，其中女性的名字却寥寥无几女数学家甚至比女王还要少，这是为什么呢？难道女人的智商真的比男人低吗？当然不是，是旧社会、旧思想对女人的偏见、迫害造成的下面，我们就来看一看两位卓越的女数学家，她们充满坎坷的一生第一位女教授苏菲娅柯瓦列夫斯卡娅苏菲娅出生在沙皇俄国立陶宛边界的一座贵族庄园里，他父亲是退役的炮兵团团长她很小就对数学很痴迷，经常对着墙壁上的数学公式和符号，一看就是好半天，原来，她房间里的糊墙纸是用高等数学的讲义做成的苏菲娅14岁时便能够独立推导出三角公式，被称为“新巴斯卡”随

7、着时间的流逝，苏菲娅逐渐长大成人，她对数学的兴趣也与日俱增但那时正处于沙皇时代，妇女是不允许注册到高等学校学习的而她的父亲又一心想让她像别的贵族姑娘一样，步人社交界，对她想学数学的心愿横加阻拦于是，苏菲娅不顾父母的反对，与年轻的古生物学家柯瓦列夫斯基“假结婚”，来到德国的海德尔堡但在那里，妇女听课要有一个专门的委员会许可才行经过努力，她被允许旁听基础课在此期间，她勤奋好学，掌握了深奥的数学知识，轰动了整个海德尔堡，成为人们谈论的话题可她只被允许听了三个学期的课，便不得不离开了那里苏菲娅深造心切，又慕名前往柏林工学院，打算去听著名数学家维尔斯特拉斯的课但遗憾的是，柏林的大学不允许妇女听教授的课，

8、苏菲娅到处吃闭门羹，最后，只好抱一线希望登门到维尔斯特拉斯家求教维尔斯特拉斯（1815-1899）是一位德高望重的老数学家，他接见了苏菲娅，并向她提了一些超椭圆方面的问题，这些问题在当时都很新颖，没想到这位貌不惊人的女青年，解题技巧娴熟，思维方法独特，给老教授留下了深刻的印象于是，维尔斯特拉斯破例答应苏菲娅每星期日在家里给她上课，每周还另抽一日到她的寓所登门授课这样，苏菲娅在维尔斯特拉斯的悉心指导下学习了4年她回忆这段经历时说：“这样的学习，对我整个数学生涯影响很深，它最终决定了我以后的科学研究方向”苏菲娅得到了维尔斯特拉斯的鼓励和指点，更加有了攀登科学高峰的勇气她经过了4年的刻苦努力写出了三

9、篇出色的论文，引起了强烈的反响这是史无前例的开创性工作1874年，在维尔斯特拉斯的推荐下，24岁的苏菲娅荣获了德国第一流学府哥廷根大学博士学位，成为世界上首屈一指的女数学家获得博士学位的苏菲娅，怀着一颗赤子之心回到了祖国，可俄国还是同她出国之前一样黑暗她在祖国无法立足，只好又回到柏林她根据维尔斯特拉斯的建议，研究光线在晶体中的折线问题在1883年奥德赛科学大会上，她以出色的研究成果作了报告可命运偏偏与她作对，当年春天，她丈夫因破产而自杀听到这个不幸的消息，肝肠寸断她把自己关在房间里，四天不吃不喝，第五天昏迷过去不幸的遭遇，并没有打跨苏菲娅的斗志，第六天苏醒过后又开始顽强的工作在瑞典数学家米达列佛勒的帮助下，经过一番周折，苏菲娅才得以担任斯德哥尔摩大学的讲师，但当地报纸公然对她攻击：“一个女人当教授是有害和不愉快的现象甚至，可以说那种人是一个怪物”但苏菲娅无所畏惧，像男人那样走上了讲台以生动的讲课，赢得了学生的热爱，击败了“男人样样胜过女