版高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第讲平面向量的数量积与平面向量应用举例学案

1、第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例考纲要求考情分析命题趋势1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2016全国卷，132016全国卷，32016北京卷，42016天津卷，72016山东卷，81.平面向量的数量积是高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题2数量积的综合应用是高考的重点，常与函数、三角函

2、数、不等式、解析几何等内容结合考查.分值：5分1平面向量的数量积若两个_非零_向量a与b，它们的夹角为，则_|a|b|cos _叫做a与b的数量积(或内积)，记作_ab|a|b|cos _.规定：零向量与任一向量的数量积为_0_.两个非零向量a与b垂直的充要条件是_ab0_，两个非零向量a与b平行的充要条件是_ab|a|b|_.2平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影_|b|cos _的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)eaae_|a|cosa，e_；(2)非零向量a，b，ab_ab0_；(3)当a与b同向时，ab_|a|b|_；当a与b反向时，ab_|a|

3、b|_，aa_a2_，|a|_；(4)cos _；(5)|ab|_|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)ab_ba_(交换律)；(2)(a)b(ab)_a(b)_(为实数)；(3)(ab)c_acbc_.5平面向量数量积性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_x1x2y1y2_；由此得到：(1)若a(x，y)，则|a|2_x2y2_，或|a|_；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|_；(3)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_x1x2y1y20_.6平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(

4、ab)2a22abb2；(3)(ab)2_a22abb2_.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负，也可为零()(2)若ab，则必有ab0.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(4)若ab0且a与b不共线，则解得或0，所以的取值范围是.三平面向量的模及综合应用向量模的运算方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|.(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解【例3

5、】 (1)在平面直角坐标系内，已知B(3，3)，C(3，3)，且H(x，y)是曲线x2y21上任意一点，则的最大值为_619_.(2)(2018河北石家庄二模)已知向量a，b，c满足|a|，|b|ab3，若(c2a)(2b3c)0，则|bc|的最大值是_1_.解析 (1)由题意得(x3，y3)，(x3，y3)，所以(x3，y3)(x3，y3)x2y296y276y19619，当且仅当y1时取最大值(2)设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos ，cos ，0，.设a，b，c(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系则A(1,1)，B(3,0)，c2a(x2，y2)，2b3c(63x，3y)，(c

6、2a)(2b3c)0，(x2)(63x)(y2)(3y)0.即(x2)2(y1)21.又知bc(3x，y)，|bc|11，即|bc|的最大值为1.1在ABC中，已知向量(2,2)，|2，4，则ABC的面积为(C)A4B5C2D3解析 (2,2)，|2.|cos A22cos A4，cos A，0A0，|ab|2cos x.(2)f(x)cos 2x2cos x2cos 2x2cos x122.x，cos x1，当cos x时，f(x)取得最小值；当cos x1时，f(x)取得最大值1.易错点忽视或弄错向量的几何表示错因分析：利用向量的几何意义表示三角形的四心，关键是弄清这四心的定义及性质【例1

7、】 已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B重心、外心、内心C外心、重心、垂心D外心、重心、内心解析 第一个条件表明O到A，B，C三顶点的距离相等，即为ABC的外心，设D为BC的中点，则2，20，则N为ABC的中线AD靠近D的三等分点，即为ABC的重心；由得()0，0，同理0，0，则知P与三顶点的连线和对边垂直，所以P为ABC的垂心，故选C答案 C【跟踪训练1】 已知O是平面内的一定点，A，B，C是此平面内不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的(C)A内心B外心C重心D垂心解析 由原等式，得()，即(

8、)，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心课时达标第26讲解密考纲本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难一、选择题1已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是(D)AxBx1Cx5Dx0解析 由向量垂直的充要条件，得2(x1)20.解得x0.2已知非零向量a，b，|a|b|ab|，则cos a，ab(C)ABCD解析 设|a|b|ab|1，则(ab)2a22abb21，ab，a(ab)a2ab1.|ab|，cosa，ab.3

9、已知向量|2，|4，4，则以，为邻边的平行四边形的面积为(A)A4B2C4D2解析 因为cosAOB，所以AOB60，sinAOB.所以所求的平行四边形的面积为|sinAOB4，故选A4(2018山西四校二联)已知平面向量a，b满足a(ab)3，且|a|2，|b|1，则向量a与b夹角的正弦值为(D)ABCD解析 a(ab)a2ab2221cosa，b42cosa，b3，cosa，b，又a，b0，sina，b，故选D5(2018甘肃兰州模拟)若ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且()0，则ABC一定是(C)A等腰直角三角形B非等腰直角三角形C等边三角形D钝角三角形解析 因为()0，所以(

10、)()0，所以220，即|，又A，B，C度数成等差数列，故2BAC，又ABC，所以2BB，所以3B，B，故ABC是等边三角形6(2018福建厦门模拟)在ABC中，A120，1，则|的最小值是(C)AB2CD6解析 由|cos 120|1，得|2，|2|2222AB2222|26，当且仅当|时等号成立所以|，故选C二、填空题7(2016全国卷)设向量a(m,1)，b(1,2)，且|ab|2|a|2|b|2，则m_2_.解析 由|ab|2|a|2|b|2得ab0，即m20，m2.8已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_90_.解析 由()，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以

11、与的夹角为90.9(2017江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是_5，1_.解析 设P(x，y)，则(12x，y)(x,6y)x(x12)y(y6)20，又x2y250，所以2xy50，所以点P在直线2xy50的上方(包括直线上)，又点P在圆x2y250上，由解得x5或x1，结合图象(图略)，可得5x1，故点P的横坐标的取值范围是5，1三、解答题10已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)解析 由已知得，ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.k7.即k7时，a2b与kab垂直11在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解析 (1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0