数学（理）专家讲坛数学思想在三角函数中的应用及三角函数的求参问题

1、数学思想在三角函数中的应用及三角函数的求参问题一、三角函数中的数学思想1数形结合思想体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程解的个数、比较大小等例1sin ，cos ，tan 从小到大的顺序是_解析设asin，bcos ，ctan ，如图所示可知b0ac，cos sin tan .答案cos sin 0，0，|在一个周期内的图象如图所示(1)求函数的解析式；(2)设0x，且方程f(x)m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和解(1)所求的函数的解析式为f(x)2sin2x.(2)在同一坐标系中画出y2sin (0

2、x)和ym(mR)的图象，如图所示，由图可知，当2m1或1m2时，直线ym与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，所以m的取值范围为2m1或1m2.当2m1时，两根之和为；当1m2时，两根之和为.点评本题将方程的根的问题转化成两个函数图象交点的个数问题，把代数问题转化成几何问题求解从函数图象上可以清楚地看出当2m1或1m2时，直线ym与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，这也体现了函数与方程思想的具体应用4分类讨论思想体现在三角函数中是根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论例5已知a(sin x，cos x)，b(sin x，k)，c(2cos x，

3、sin xk)(1)若f(x)a(bc)，求f(x)的最小正周期及方程f(x)的解集；(2)若g(x)(ab) c，求当k为何值时，g(x)的最小值为.解(1)bc(sin x2cos x，sin x)，f(x)a (bc)sin x(sin x2cos x)cos xsin xsin2 xsin xcos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin ，所以f(x)的最小正周期为T.由f(x)，得sin ，所以sin0.所以2xk(kZ)所以x(kZ)所以方程f(x)的解集为.(2)ab(2sin x，cos xk)，g(x)(ab)c4sin xcos x(cos xk)(sin xk

4、)3sin xcos xk(sin xcos x)k2.令tsin xcos xsin，则t， ，且t2sin2xcos2 x2sin xcos x12sin xcos x，所以sin xcos x.所以g(x)可化为h(t)(3)ktk2t2ktk2，t，对称轴t.当3时，g(x)minh()()2k()k2k2k，由k2k，得k2k30.所以k.因为k3，所以此时无解当 ，即3k3时，g(x)minh2kk2k2.由k2，得k03，3 当 ，即k3时，g(x)minh()()2kk2k2k.由k2k，得k2k30，所以k.因为k3，所以此时无解综上所述，当k0时，g(x)的最小值为.点评本

5、题是一种典型的三角函数求最值的题型，通过换元将三角问题转化成我们熟知的二次函数求最值问题，然后根据对称轴与自变量的位置关系进行分类讨论5整体思想整体思想在三角函数中主要体现在利用整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数的性质等例6已知，且sin cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因为sin cos ，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(2)因为，所以，故.由sin()，得cos ().所以cos cos()cos cos()sin sin ().点评本题第(2)问求解的关键是整体运用已知角()和角来表示角，即()

6、，这样可以直接利用已知条件求解数学思想较多，除了以上几种外，还有类比等数学思想，只要大家认真思考，灵活运用，数学思想一定能给你的学习带来事半功倍的效果二、巧用三角函数的性质求参数1根据三角函数的奇偶性求解参数例1已知f(x)cos(x)sin(x)为偶函数，则可以取的一个值为()A. B. C D解析f(x)22cos2cos，则由f(x)f(x)恒成立，得2cos2cos恒成立，利用两角和的余弦公式展开并整理，得sin(x)sin0恒成立，而xR，故sin0恒成立，由所给选项，只有D适合答案D点评求解三角函数的奇偶性的参数问题还可利用下列结论进行简解：函数yAcos(x)B(A0)为奇函数k

7、(kZ)且B0，为偶函数k(kZ)例2已知存在实数，(其中0，Z)使得函数f(x)2cos (x)是奇函数，且在上是增函数，试求出所有符合题意的与的值解由f(x)为奇函数，知f(x)f(x)，2cos (x)2cos(x)4cos xcos 0.又xR，cos 0.解得k，kZ.当k2n(nZ)时，f(x)2cos 2sin (x)为奇函数，f(x)在上是增函数，0.由xx，又f(x)在上是增函数，故有，20.由xx，又f(x)在上是增函数，故有，00)的单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)，则的值为_解析由题意，得，即函数f(x)的周期为，则2.答案2点评解答此类题要注意单调区间的

8、给出方式，如：“函数f(x)在(kZ)上单调递增”与“函数f(x)的单调递增区间为(kZ)”，二者是不相同的3根据三角函数的周期性求解参数例4若函数ysin xsin的最小正周期为，则_.解析由题意，得ysin xsinsin xcos xsin 2x，由T，得7.答案7点评解题时要注意x的系数是否规定了符号，若无符号规定，利用周期公式时须加绝对值例5如图所示为函数f(x)2cos (x)(0,0)的部分图象，其中|5，那么和的值分别为()A，B，C，D6，解析函数f(x)的最小正周期为T，点A，B的横坐标之差为，纵坐标之差为4，所以5，故3，所以.由f(0)1，得cos ，又0，故.答案B点评函数f(x)Asin (x)，f(x)Acos(x)图象上一个最高点和它邻近的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期，纵坐标之差的绝对值是2A.在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等4根据三角函数的最值求解参数例6若函数f(x)asin x