人教A数学选修21同课异构教学课件32第2课时空间向量与垂直关系情境互动课型

1、第2课时 空间向量与垂直关系,在上一节中，我们研究了空间中直线与直 线、直线与平面以及平面与平面的平行关系与直 线的方向向量和平面的法向量的关系；那么，直 线的方向向量和平面的法向量与空间中直线与直 线、直线与平面、平面与平面的垂直关系间又有 什么联系呢？,换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量.,l,平面 的向量式方程,换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量.,2.平面的法向量,1.求直线的方向向量和平面的法向量.(重点) 2.利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题(重点、难点),探究点1 垂直关系：,l,m,l,A,B,C,B,【即时训练】,如何求平面的法向

2、量?,【即时训练】,解得,例1：如图,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点E是 CD的中点,点F是AD上一点,当BFPE时,AFFD的值为 () A.12 B.11 C.31 D.21,【解题关键】关键是建立恰当的坐标系求出点F的坐标.,B,【变式练习】,例2：如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2, D为CC1的中点. 求证:AB1平面A1BD.,【解题关键】本例中,如何建立空 间直角坐标系?证明AB1平面A1BD 有哪几种方法.,提示：取BC的中点O作为坐标原点； 为z轴正方向， 为x轴正方向建立空间直角坐标系. 方法一：证明 方法二：证明 与平面A1BD的 法向量

3、平行.,【证明】如图所示,取BC的中点O,连接AO. 因为ABC为正三角形,所以AOBC. 因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中, 平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1,以O为原点,以 分别为x轴, y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0), D(-1,1,0),A1(0,2, ),A(0,0, ),B1(1,2,0). 所以,方法一:因为 =1(-1)+22+(- ) =0. =1(-2)+21+(- )0=0. 所以 即AB1BA1,AB1BD. 又因为BA1BD=B,所以AB1平面A1BD.,方法二:设平面A1BD的法向量为n=(x

4、,y,z),则有 令x=1,则y=2,z=- , 故n=(1,2,- )为平面A1BD的一个法向量, 而 =(1,2,- ),所以 =n, 所以 n,故AB1平面A1BD.,【变式练习】,B,B,2.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系.,平行,垂直,平行,3.设 分别是平面,的法向量,根据 下列条件,判断,的位置关系.,垂直,平行,相交,4.如图所示, 正方体的棱长为1 （1）直线OA的一个方向向量坐标为_. （2）平面OABC 的一个法向量坐标为_. （3）平面AB1C 的一个法向量坐标为_.,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),平面

5、C1BD的一个法向量是,设平面EBD的一个法向量是,空间中的垂直关系及其向量证明方法 (1)线线垂直 证明两直线的方向向量垂直 先证明线面垂直，利用线面垂直的性质 (2)线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直 先证明面面垂直，利用面面垂直的性质,(3)面面垂直 证明两平面的法向量相互垂直 转化为线线垂直或线面垂直 提醒根据题目条件，要灵活选择基向量法或坐标法,例2：求平面的法向量 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD= ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的一个法向量.

6、,【解题关键】本例中为建立恰当的空间直角坐标系要依据哪个条件确定z轴的位置?平面ACE的法向量应满足什么条件?,【解析】因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz,则D（0， ，0），E(0， )， B（1，0，0），C（1， ，0），于是 =（1， ，0）.,设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量， 令y=-1，则x=z= . 所以平面ACE的一个法向量为n=( ,-1, ).,【方法技巧】 1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z). (2

7、)选向量:在平面内选取两不共线向量,. (3)列方程组:由 列出方程组. (4)解方程组: (5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取1). (6)得结论:得到平面的一个法向量.,【互动探究】 1.(改变问法)本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量.,【解析】如图所示，建立空间直角坐标系， 则P（0，0，1），C（1， ，0），所以 =（1， ，-1）即直线PC的一个方向向量. 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z). 因为D（0，3，0），所以 =（0, ,-1).,所以平面PCD的一个法向量为（0,1, ）.,2.(变换条件、改变问法)若把本例的条件改为:平面PA

8、B平面ABCD,PAB是边长为1的正三角形,ABCD是菱形.ABC=60,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面DEF的法向量.,【互动探究】,【解题指南】解答本题的关键是依据平面PAB平面ABCD,寻找并证明平面ABCD的垂线,建立恰当的空间直角坐标系.,z,x,y,【解析】因为PA=PB,F为AB的中点,所以PFAB, 又因为平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,PF平面PAB. 所以PF平面ABCD,因为AB=BC,ABC=60, 所以ABC是等边三角形,所以CFAB. 以F为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图所示).,由题意得F（0，0，0），,设平面DEF的法向量为 m=(x,y,z). 所以平面DEF的一个法向量为（ ，2，-2）.,2.求平面法向量的三个注意点 (1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取