高中数学人教A选修12课件2112类比推理

1、第2课时类比推理,1.类比推理 (1)类比推理的含义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. (2)类比推理的特点: 类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; 类比是以原有知识为基础,猜测新结论; 类比能发现新结论,但结论具有猜测性,它的准确性需要证明.,做一做1下面使用类比推理正确的是() A.“若a3=b3,则a=b”类推出“若a0=b0,则a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“(ab)c=acbc” C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ (c0)

2、” D.“(ab)n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn” 解析:只有C选项中的类比是正确的,其余均错. 答案:C,2.类比推理的一般步骤 (1)明确两类对象; (2)找出两类对象之间的相似性或者一致性; (3)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得到一个明确的结论. 做一做2在平面上,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为. 解析:因为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方. 同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体积之比为相似比的立方,故体积比为18. 答案:18,3.合情推

3、理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 做一做3下列说法正确的是() A.合情推理的结论一定正确 B.合情推理的结论一定不正确 C.归纳推理和类比推理都属于合情推理 D.合情推理是由一般到特殊的推理 答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)类比推理是由一般到特殊的推理. () (2)由直线与圆相切时,圆心与切点的连线和直线垂直,想到平面与球相切时,球心与切点的连线与平面垂直,这运用了类比推理. () (3)

4、类比推理得到的结论不一定是正确的. () (4)合情推理在数学证明和数学发现中具有重要作用. (),探究一,探究二,探究三,平面与空间的类比 【例1】我们知道,在平面中,如果一个平行四边形的两条对角线相等,那么这个平行四边形是矩形.将这一结论类比推广到空间中,我们可以得到怎样的结论?如何证明该结论的准确性? 分析:由平面向空间类比推广时,平行四边形与平行六面体是类比对象,矩形则与直平行六面体是类比对象,平行四边形的对角线与平行六面体的体对角线是类比对象.,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,解:空间中,类似的结论是:如果一个平行六面体的体对角线相等,那么这个平行六面体是直平行六面体.

5、证明如下:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 若对角线A1C与AC1相等, 则四边形ACC1A1是矩形, 因此A1AAC. 同理,由BD1=B1D可得四边形BB1D1D是矩形, 因此D1DDB,即A1ADB. 又因为AC与BD相交, 所以A1A底面ABCD, 故平行六面体是直平行六面体.,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,答案:C,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,等差数列与等比数列的类比 【例2】在等差数列an中,如果m,n,p,rN*,且m+n+p=3r,那么必有am+an+ap=3ar,类比该结论,写出在等比数

6、列bn中类似的结论,并用数列知识加以证明. 分析:从等差数列与等比数列的定义与性质出发,寻找两种数列的联系点进行类比.,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,变式训练2已知an为等比数列,a7=6,则a1a2a13=613.类比该结论,若bn为等差数列,b7=6,则bn中的类似结论为. 解析:等比数列中,“乘积”类比到等差数列中“和”,故应有结论为b1+b2+b13=613. 答案:b1+b2+b13=613,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,解题方法的类比问题,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,分析:这是解题方法上的类比问

7、题,分析已经给出的问题的解题方法与步骤可知,应首先设出欲求值的式子,然后根据式子的循环与周期性进行求解.,答案:C,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,解析:将不等式化为x6+x2(2x+3)3+(2x+3),构造函数f(x)=x3+x,显然函数f(x)在R上单调递增,而f(x2)f(2x+3),所以x22x+3,解得x3或x-1. 答案:(-,-1)(3,+),当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析,盲目进行类比推理导致结果错误 典例平面几何中有结论:若一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等或互补;类比

8、这一结论,在立体几何中,若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角() A.互补 B.相等 C.互补或相等 D.大小关系不定 错解:由类比推理,可知这两个二面角相等或互补,故选C. 正解:当一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时,这两个二面角没有任何大小关系,故选D. 答案:D,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析,变式训练若数列an是等差数列,且m,n,p是互不相等的正整数,则有(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0.类比上述结论,在等比数列bn中,若m,n,p是互不相等的正整数,则有 .,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析,1.平面内平行于同一直线的两直线平行,由此类比到空间中我们可以得到() A.空间中平行于同一直线的两直线平行 B.空间中平行于同一平面的两直线平行 C.空间中平行于同一直线的两平面平行 D.空间中平行于同一平面的两平面平行 解析:利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.故选D. 答案:D,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析,答案:D,探究一,探究二,探究三,当堂检测,思维辨析,3.在平面几何中,有结论:“正三角形内一点