高中数学人教A浙江一轮参考课件75数学归纳法

1、7.5数学归纳法,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. 2.数学归纳法的适用范围 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题,证明时,它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可.,-4-,知识梳理,双击自测,B,解析:nN*,n1, n取的第一个数为2,-5-,知识梳理,

2、双击自测,D,解析:由条件知,等式的左边是从20,21,一直到2n-1都是连续的,则当n=k+1时,等式1+2+22+2k-1+2k=2k-1+2k.,-6-,知识梳理,双击自测,C,-7-,知识梳理,双击自测,4.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k+1成立时,总可推出f(k+1)k+2成立”.则下列命题总成立的是() A.若f(1)2成立,则f(10)11成立 B.若f(3)4成立,则当k1时,均有f(k)k+1 C.若f(2)3成立,则f(1)2成立 D.若f(4)5成立,则当k4时,均有f(k)k+1成立,D,解析:根据题意,若f(4)5成立,则f(n0+

3、1)n0+2(n04), 即f(k)k+1(k5).综合f(4)5,可知当k4时,均有f(k)k+1成立. 故选D.,-8-,知识梳理,双击自测,5.用数学归纳法证明1+2+3+n2= ,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是.,(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2,解析:当n=k时,左侧=1+2+3+k2, 当n=k+1时,左侧=1+2+3+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2, 当n=k+1时, 左端应在n=k的基础上增添(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.,-9-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时步

4、骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据. 2.当第(1)步验算n=n0时,要观察表达式中能起通项作用的项,把n=n0代入这个通项,就能找到命题的表达式. 3.在用数学归纳法证明时,第(1)步验算n=n0的n0不一定为1,而是根据题目要求选择合适的起始值,第(2)步证明当n=k+1时命题也成立,n的取值不一定就是k+1,而是满足题意的比k大的下一个值.,-10-,考点一,考点二,考点三,用数学归纳法证明等式(考点难度) 例1求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*).,证明:(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,等式成立.

5、(2)假设当n=k(kN*)时等式成立, 即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1), 则当n=k+1时, 左边=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k135(2k-1)(2k+1)2 = 2 + 1 135(2k-1)(2k+1), 即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对所有nN*都成立.,-11-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.用数学归纳法证明等式问题,要弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. 2.由当n=k时等式成立,推出当n=k+1时等式成立.一要找出

6、等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. 3.变形常用的方法:(1)因式分解;(2)添拆项;(3)配方法.,-12-,考点一,考点二,考点三,对点训练求证:12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN*).,证明:(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立. (2)假设当n=k时,等式成立, 即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1). 当n=k+1时,12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2 =-k(2k+1)+(2k+1

7、)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3) =-(k+1)2(k+1)+1, 所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)得,等式对任何nN*都成立.,-13-,考点一,考点二,考点三,用数学归纳法证明不等式(考点难度) 例2设fn(x)是等比数列1,x,x2,xn的各项和,其中x0,nN,n2.,(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.,-14-,考点一,考点二,考点三,-15-,考点一,考点二,考点三,所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减. 所以

8、h(x)h(1)=0,即fn(x)gn(x). 综上所述,当x=1时,fn(x)=gn(x); 当x1时,fn(x)gn(x).,-16-,考点一,考点二,考点三,-17-,考点一,考点二,考点三,令hk(x)=kxk+1-(k+1)xk+1(x0), 则hk(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1=k(k+1)xk-1(x-1). 所以,当01时,hk(x)0,hk(x)在(1,+)上递增. 所以hk(x)hk(1)=0,故fk+1(x)gk+1(x),即n=k+1时不等式也成立. 由和知,对一切n2的整数,都有fn(x)gn(x).,-18-,考点一,考点二,考点三,解法三 由已知,

9、记等差数列为ak, 等比数列为bk,k=1,2,n+1. 则a1=b1=1,an+1=bn+1=xn,当x=1时,ak=bk,所以fn(x)=gn(x).,=(k-1)xk-2(xn-k+1-1). 而2kn,所以k-10,n-k+11.,-19-,考点一,考点二,考点三,若01,xn-k+11,mk(x)0, 从而mk(x)在(0,1)上递减,在(1,+)上递增, 所以mk(x)mk(1)=0. 所以当m0且m1时,akbk(2kn), 又a1=b1,an+1=bn+1,故fn(x)gn(x). 综上所述,当x=1时,fn(x)=gn(x); 当x1时,fn(x)gn(x).,-20-,考点

10、一,考点二,考点三,方法总结1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. 2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证当n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.,-21-,考点一,考点二,考点三,对点训练用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式,-22-,考点一,考点二,考点三,归纳猜想证明(考点难度) 例3设a0, ,令a1=1,an+1=f(an),nN*. (1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论.,-23-,考点一,考点二

11、,考点三,解题心得“归纳猜想证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.,-24-,考点一,考点二,考点三,-25-,考点一,考点二,考点三,解:f(x)=x2-1,an+1f(an+1), an+1(an+1)2-1. 函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间1,+)上单调递增, 又a11,a2(a1+1)2-122-1,a3(a2+1)2-124-123-1, 由此猜想:an2n-1. 下面用数学归纳法证明这个猜想. (1)当n=1时,a121-1=1,猜想成立. (2)假设n=k(k1,且kN*)时猜想成立,即ak2k-1, 则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间1,+)上单调递增知,-26-,利用数学归纳法结合放缩法证明不等式问题 数学归纳法是一种重要的数学思想方法,只适用于与正整数有关的命题.当要证明的关系式等号或不等号有一边是一个常数时,数学归纳法常常需要结合放缩法才能有效地解决问题.,-27-,-28-,-29-,-30-,反思总结数学归纳法证明过程的表述严格而且规范,两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条