秋人教高中数学必修五同课异构课件23等差数列的前n项和232探究导学课型

1、一、等差数列前n项和的最值问题 等差数列前n项和公式为 当d0时，Sn是关于n的二次函数，在一定条件下，Sn有最值.请根据这些条件思考下面的问题：,第2课时 等差数列习题课,探究1：在等差数列an中，当a10，d0呢？ 提示：当a10，d0时，数列为递增数列，所以Sn有最小值.,探究2：从函数观点分析Sn= 的最值情况. 提示：当d0时，此二次函数的开口向上，Sn存在最小值；当d0时，此二次函数的开口向下，Sn存在最大值.,【探究总结】对等差数列前n项和最值的三点说明 (1)等差数列前n项和的最值不一定在顶点处取得. (2)取最值时的n值，一定是正整数. (3)d=0时，数列为常数列，前n项和

2、Sn=na1，是关于n的一次函数.,二、数列|an|的前n项和问题 等差数列an的首项为a1，公差为d，则其前n项和为Sn=na1+ .将数列an的每一项都取绝对值，得到一新数列 |an|，请思考下面的问题：,探究1：若等差数列an的首项a10，其前n项和为Sn，则数列|an|的前n项和如何求？ 提示：因为等差数列an的首项a10，所以存在正整数m，当nm时，有an0，当nm时，有an0，记数列|an|的前n项和为Tn，则 当nm时，Tn=|a1|+|a2|+|an|=-Sn，,当nm时 Tn=|a1|+|a2|+|am|+am+1+an =-a1-a2-am+am+1+an =a1+a2+a

3、m+am+1+an-2(a1+a2+am) =Sn-2Sm. 所以Tn=,探究2：若等差数列an的首项a10，公差d0，公差dm时，有an0，当nm时有an0，记数列|an|的前n项和为Tn，则 当nm时，Tn=a1+a2+an=Sn，,当nm时， Tn=a1+a2+am+|am+1|+|an| =a1+a2+am-am+1-an =-a1-a2-am-am+1-an+2(a1+a2+am) =-Sn+2Sm. 所以Tn=,【探究总结】求等差数列|an|的前n项和两点说明 (1)当数列中含有负项时，要注意对n的讨论. (2)数列|an|的前n项和要以分段的形式表示.,类型一求等差数列前n项和的

4、最值 1.在递减等差数列an中，若a1+a100=0，则其前n项和Sn取最大值时的n值为() A.49B.51C.48D.50 2.(2014江西高考)在等差数列an中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为.,3.已知数列an的前n项和公式为Sn=2n2-30n. (1)求数列an的通项公式an. (2)求Sn的最小值及对应的n值.,【解题指南】1.利用等差数列的性质判断出a500，a510，a90. 3.(1)注意分n=1和n2讨论.(2)利用配方法求最值.,【自主解答】1.选D.因为a1+a100=a50+a51=0，且d0，a510且a90

5、且7+8d0， 解得-1d 答案：,3.(1)因为Sn=2n2-30n，所以当n=1时，a1=S1=-28. 当n2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-30n)-2(n-1)2-30(n-1)=4n-32.当n=1时上式也适合. 所以an=4n-32，nN*. (2)Sn=2n2-30n= 所以当n=7或8时，Sn最小，且最小值为S7=S8=-112.,【规律总结】求等差数列前n项和的最值问题的两种方法 (1)在等差数列an中，当a10，d0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组 确定.,(2)因为 若d0，则从二次函数的角度看： 当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；且n

6、取最接近 对称轴的自然数时，Sn取到最值.,【变式训练】在等差数列an中，a1=25，S9=S17，则前n项 和Sn的最大值是. 【解析】由S17=S9，得2517+ (17-1)d =259+ (9-1)d，解得d=-2， 所以Sn=25n+ (n-1)(-2)=-(n-13)2+169， 由二次函数性质可知，当n=13时，Sn有最大值169. 因此Sn的最大值为169. 答案：169,类型二求数列|an|的前n项和 1.已知数列an的通项公式为an=2n-30，Sn是|an|的前n项和，则S10=. 2.(2015北京高二检测)Sn表示等差数列an的前n项和，且S4=S9，a1=-12.

7、(1)求数列的通项an及Sn. (2)求和：Tn=|a1|+|a2|+|an|.,【解题指南】1.先判断前10项的正负，再根据求和公式求解. 2.(1)由S4=S9，a1=-12，可以求得a1与d的关系，可求得d与an. (2)由d0，先判断该数列从第几项大于零，从第几项小于零，再根据等差数列前n项和的性质求解.,【自主解答】1.an=2n-30，令an0得n15，即an中， 前14项均为负数， 所以S10=-(a1+a2+a3+a10) =- (a1+a10)=-5(-28)+(-10)=190. 答案：190,2.(1)设公差为d，因为S4=S9，a1=-12， 所以4(-12)+6d=9

8、(-12)+36d d=2，所以an=-12+2(n-1)=2n-14， Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n. (2)当n7时，Tn=-(a1+a2+a3+an)=-Sn=13n-n2， 当n8时，an0，Tn=-(a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a7+an) =Sn-2S6=n2-13n+84. 综上，Tn=,【规律总结】求数列|an|的前n项和的步骤 (1)求出数列的通项公式. (2)判断出an的符号. (3)找出数列an中项的正负界点. (4)利用拆项法求和.,【变式训练】已知等差数列an前三项的和为-3，前三项的积为8. (1)求等差数列an的通项公式. (2)若a1a

9、2=a32，求数列|an|的前n项和.,【解析】(1)设等差数列an的公差为d， 则a2=a1+d，a3=a1+2d， 由题意得 解得 或 所以由等差数列通项公式得an=2-3(n-1)=-3n+5， 或an=-4+3(n-1)=3n-7. 故an=-3n+5或an=3n-7.,(2)当an=-3n+5时，a2，a3，a1分别为-1，-4，2， 不满足a1a2=a32； 当an=3n-7时，a2，a3，a1分别为-1，2，-4， 满足a1a2=a32. 故|an|=|3n-7|= 记数列|an|的前n项和为Sn.,当n=1时，S1=|a1|=4； 当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5； 当

10、n3时，Sn=S2+|a3|+|a4|+|an| =5+(33-7)+(34-7)+(3n-7) 当n=2时，满足此式. 综上，Sn=,类型三等差数列的综合应用 1.已知数列an中，a3=2，a7=1，且数列 是等差数列， 则a11等于() A.-B.C.D.5 2.(2014浙江高考)已知等差数列an的公差d0，设an的 前n项和为Sn，a1=1，S2S3=36. (1)求d及Sn. (2)求m，k(m，kN*)的值，使得am+am+1+am+2+am+k=65.,【解题指南】1.分别求出 得到等差数列的两项， 求出公差和第11项进而求出a11. 2.利用已知条件先求出d，然后再求解其他问题

11、.,【自主解答】1.选B.设 的公差为d，则有 解得d= ，所以 即 解得a11= . 2.(1)由题意知，(2a1+d)(3a1+3d)=36， 解得d=2或d=-5(舍去). 所以Sn=na1+ d=n+n(n-1)=n2.,(2)由(1)知， am+am+1+am+2+am+k=(2m+k-1)(k+1)， 所以(2m+k-1)(k+1)=65， 由m，kN*知，2m+k-1k+11，故 所以,【规律总结】裂项相消法求和 当数列的通项是分式形式，分母是两个式子的乘积，且两个 式子的差为常数，这时可以把通项分裂成两项之差，如an= 在求和 时，中间很多项都会相互抵消，只剩首尾若干项，从而求出 数列的和.,【变式训练】在等差数列an中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6-4， 其前n项和为Sn. (1)求数列an