人教A数学选修21同课异构教学课件32第2课时空间向量与垂直关系精讲优练课型

1、第2课时 空间向量与垂直关系,【自主预习】 空间垂直关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，平面，的法向量分别为u=(u1，u2，u3)，v=(v1，v2，v3)，则,ab,ab=0,au,a=u，R,uv,【即时小测】 1.设直线l1，l2的方向向量分别为a=(-2，2，1)，b=(3，-2，m)，若l1l2，则m等于() A.-2 B.2 C.6 D.10 【解析】选D.因为l1l2，所以ab. 所以ab=(-2)3+2(-2)+1m=0.解得m=10.,2.若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是() A.n1=(1，2，

2、1)，n2=(-3，1，1) B.n1=(1，1，2)，n2=(-2，1，1) C.n1=(1，1，1)，n2=(-1，2，1) D.n1=(1，2，1)，n2=(0，-2，-2),【解析】选A.若平面，垂直，则这两个平面的法向量垂直. 经检验，只有选项A中n1n2=(1，2，1)(-3，1，1)=1(-3)+21+11=0.,3.若直线l的方向向量为a=(2，0，1)，平面的法向 量为n=(-4，0，-2)，则直线l与平面的位置关系为 () A.l与斜交 B.l C.l D.l,【解析】选D.因为a=(2，0，1)，n=(-4，0，-2). 所以n=-2a，故na. 即直线l的方向向量与平面

3、的法向量平行，故l.,4.已知平面和平面的法向量分别为a=(1，1，2)，b=(x，-2，3)，且，则x=_.,【解析】因为，且向量a，b分别是平面，的法向量， 所以ab，ab=x-2+6=0， 所以x=-4. 答案：-4,【知识探究】 探究点空间垂直关系的向量表示 1.在空间，两条垂直直线的方向向量一定垂直吗？ 提示：一定垂直. 2.在空间，两个垂直平面的法向量一定垂直吗？ 提示：一定垂直.,【归纳总结】 空间垂直关系的解决策略,特别提醒：用向量法证明垂直时，要选择一个合适的基底.,类型一用向量方法处理线线垂直问题 【典例】1.(2016德州高二检测)已知a=(1，3，4)是 直线l1的方向

4、向量，若l1l2，则l2的方向向量可以是 () A.(-3，1，1) B.(-6，2，0) C.(-1，-3，-4) D.(-4，0，-1),2.(2016青岛高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=1，BC=4，点E是D1A1的中点，设F在B1C1上，若DEBF，则B1F=_. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点，求证：(1)BD1AC.(2)BD1EB1.,【解题探究】1.典例1中l1l2，它们的方向向量有什么关系？ 提示：l1l2，它们的方向向量互相垂直.,2.典例2中如何借助向量方法，应用DEBF，求B1F的长？ 提示：建立空间直角坐标系，由

5、向量垂直、数量积为0，列方程求解.,3.典例3中，如何证明线线垂直？ 提示：应用向量的数量积为0来证明.,【解析】1.选B.因为l1l2，所以l1，l2的方向向量互相垂直，它们的数量积为0，经验证，只有B选项中向量满足要求.,2.建立如图所示空间直角坐标系， 则D(0，4，0)，E(0，2，1)，B(1，0，0)，,设F(1，a，1)， 则 因为DEBF，所以 ， 即 =-2a+1=0，解得a= ， 所以B1F= . 答案：,3.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系.,设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)， A(1，0，0)

6、，C(0，1，0)， ，B1(1，1，1). (1)因为 所以 =(-1)(-1)+(-1)1+10=0， 所以 ，即BD1AC.,(2)因为 =(-1) +(-1) +11=0， 所以 ，即BD1EB1.,【方法技巧】 1.利用向量法证明线线垂直的依据和关键点 (1)依据： 转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.,(2)关键： 建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量.,2.应用线线垂直求点的坐标的策略 (1)设出点的坐标. (2)利用点满足的条件建立与坐标有关的方程. (3)通过解方程的方法求出点的坐标.,【变式训练】(2016广州高二

7、检测)所有棱长均为1的 正三棱柱ABC-A1B1C1，M是BC的中点，N在侧棱CC1上， 且CN= CC1，求证：AB1MN.,【证明】如图，以A点为原点，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，以AC，AA1所在直线为y轴、z轴，建立空间直角坐标系.,则A(0，0，0)， 即 因此 ，即AB1MN.,【一题多解】因为M是BC的中点，N是CC1的四等分点， 所以 因为ABC-A1B1C1是棱长均为1的正三棱柱， 所以BB1平面ABC，且BAC=60，,于是 =0，因此 ， 故AB1MN.,类型二应用向量方法解决线面垂直问题 【典例】如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC

8、1的中点. 求证：AB1平面A1BD.,【解题探究】本例中，如何建立空间直角坐标系？证 明AB1平面A1BD有哪几种方法. 提示：取BC的中点O作为坐标原点； 为z轴正方向， 为x轴正方向建立空间直角坐标系. 方法一：证明 方法二：证明 与平面A1BD的法向量平行.,【证明】如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.,因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC平面 BCC1B1，所以AO平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以O为原点，以 分别为x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1， 0，0)，D(-1，1，0)，A1(0，2， )，A

9、(0，0， )， B1(1，2，0). 所以,方法一：因为 =1(-1)+22+(- ) =0. =1(-2)+21+(- )0=0. 所以 即AB1BA1，AB1BD. 又因为BA1BD=B，所以AB1平面A1BD.,方法二：设平面A1BD的法向量为n=(x，y，z)，则有 n ，n ， 故,令x=1，则y=2，z=- ， 故n=(1，2，- )为平面A1BD的一个法向量， 而 =(1，2，- )，所以 =n， 所以 n，故AB1平面A1BD.,【延伸探究】 1.本例中增加条件：E，F分别是BC，BB1的中点， 求证：EF平面ADE.,【证明】建立空间直角坐标系(如图所示)，,则A(0，0，

10、 )，D(-1，1，0)，E(0，0，0)，F(1， 1，0)，所以 =(0，0， )， =(-1，1，0)， =(1，1，0). 所以 =10+10+0 =0， =1(-1)+11+00=0.,所以 ，即EFEA，EFED， 又因为EAED=E，所以EF平面ADE.,2.本例中三棱柱的底面改为等腰直角三角形，除AB，A1B1外其他棱长仍为2.点M，N分别为A1B和B1C1的中点. 求证：MN平面A1BC.,【证明】如图所示建立空间直角坐标系， 则C(0，0，0)，A1(0，2，2)，B(2，0，0)， M(1，1，1)，N(1，2，0). 所以 所以 所以 即MNCA1，MNCB， 又因为C

11、A1CB=C，所以MN平面A1BC.,【方法技巧】用坐标法证明线面垂直的方法及步骤 方法一：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量. (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.,方法二：(1)建立空间直角坐标系. (2)将直线的方向向量用坐标表示. (3)求出平面的法向量. (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 特别提醒：用坐标证明垂直问题，关键是根据题目中的垂直关系建立适当的坐标系.,【拓展延伸】用基向量法证明线面垂直 (1)确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量. (2)找

12、出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示.,(3)分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的方向向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论.,【补偿训练】(2015成都高二检测)在四棱锥P-ABCD 中，ABCD，ABAD，AB=4，AD=2 ，CD=2，PA平 面ABCD，PA=4. (1)设平面PAB平面PCD=m，求证：CDm. (2)求证：BD平面PAC.,【证明】(1)因为ABCD，CD平面PAB，AB平面PAB， 所以CD平面PAB. 因为CD平面PCD，平面PAB平面PCD=m， 所以CDm.,(2)因为AP平面ABCD，ABAD，所

13、以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，,则B(4，0，0)，P(0，0，4)，D(0，2 ，0)，C(2， 2 ，0)，所以 =(-4，2 ，0)， =(2，2 ， 0)， =(0，0，4)， 所以 =(-4)2+2 2 +00=0， =(-4)0+2 0+04=0， 所以BDAC，BDAP.,因为APAC=A，AC平面PAC，PA平面PAC， 所以BD平面PAC.,类型三应用向量方法解决面面垂直问题 【典例】1.(2016聊城高二检测)已知平面的一个 法向量为n1=(1，2，0)，平面的一个法向量为n2= (2，-1，0)，则平面，的位置关系为

14、() A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定,2.(2016沈阳高二检测)若平面，的法向量分别为(-1，2，4)，(x，-1，-2)，且，则x=_. 3.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，ABBC，AB=BC=2，AA1=1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1平面AA1C1C.,【解题探究】1.典例1中，的法向量n1，n2有什么关系？ 提示：n1n2=12+(-1)2+00=0，即n1n2. 2.典例2中，它们的法向量有什么关系？ 提示：垂直，即数量积等于0.,3.典例3中，要证两个平面垂直，如何着手？ 提示：转化为证明两个平面的法向量垂直.,【解析】1.选C.因

15、n1n2=12+2(-1)+00=0， 即n1n2，又n1，n2分别是平面，的法向量，故. 2.因为，故它们的法向量互相垂直， 即(-1，2，4)(x，-1，-2)=-x-2-8=0，所以x=-10. 答案：-10,3.由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0， 2，1)， 故,设平面AA1C1C的法向量为n1=(x，y，z)， 则 即 令x=1，得y=1，故n1=(1，1，0).,设平面AEC1的法向量为n2=(a，b，c)， 则 即

16、 令c=4，得a=1，b=-1.故n2=(1，-1，4). 因为n1n2=11+1(-1)+04=0， 所以n1n2. 所以平面AEC1平面AA1C1C.,【方法技巧】证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.,【变式训练】(2016石家庄高二检测)如图，在四棱 锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，ABC=BAD=90， AP=AD=AB= ，BC=t，PAB=PAD=.,(1)当t=3 时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC 平面BDE，并求出此时 的值. (2)当=60时，若平面PAB平面PC

17、D，求此时棱BC 的长.,【解题指南】(1)在棱PA上取点E，使得 ，连接 AC，BD交于点F，证明EFPC，即可证明PC平面BDE.,(2)取BC上一点G使得BG= ，连接DG，则ABGD为正方 形.过P作PO平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD， OG，以O为坐标原点，分别以 的方向为x轴， y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量m=(-1，1，1)、平面PCD的法向量n= 由mn=0，解得BC的长.,【解析】(1)在棱PA上取点E，使得 ， 连接AC，BD交于点F， 因为ADBC，所以 所以 所以，EFPC， 因为PC平面BDE，EF平面BDE， 所以PC

18、平面BDE.,(2)取BC上一点G使得BG= ，连接DG， 则ABGD为正方形，过P作PO平面ABCD，垂足为O. 连接OA，OB，OD，OG， AP=AD=AB，PAB=PAD=60， 所以PAB和PAD都是等边三角形，因此PA=PB=PD， 所以OA=OB=OD， 即点O为正方形ABGD对角线的交点，,以O为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，,则O(0，0，0)，P(0，0，1)，A(-1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，-1，0)，G(1，0，0)， 则,设平面PAB的法向量为m=(x，y，z)， 则 取m=(-1，1，1). 同理平面PCD的法向量n= 由mn=0，解得t=