人教A高中数学选修11同课异构课件333函数的最大小值与导数探究导学课型

1、3.3.3 函数的最大(小)值与导数,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材,并了解函数的最值与函数的极值、端点值之间的关系,并识记函数最值的求法,【知识链接】 1.求函数y=f(x)的极值的方法 解方程f(x)=0.当f(x0)=0时: (1)在x0的左侧f(x)0,右侧f(x)0f(x0)是极小值 2.函数的最大(小)值的定义 对于函数f(x),给定区间I,若对于任意的xI,存在x0I,若f(x)f(x0),则称f(x0)为函数的最小值.若f(x)f(x0),则称f(x0)为函数的最大值,主题:函数的最值 【自主认知】 1.观察图中在a,b上函数y=f(x)的图象,找出它们的极大值和极

2、小值. 提示:f(c),f(e)是函数y=f(x)的极小值,f(d),f(g)是函数y=f(x)的极大值.,2.从图中找出函数y=f(x)在a,b上的最大值、最小值. 提示:图中的函数f(x)的最大值为f(g),最小值为f(b). 3.由图还可以看出,假设函数y=f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且该函数在(a,b)内可导,则该函数在a,b上一定能够取得最大值、最小值吗? 提示:一定能取得最大值与最小值.,根据以上探究过程,试着写出在a,b上函数y=f(x)有最值的条件: _ _,如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么,它必有最大值和最小值.,【合

3、作探究】 1.函数在某一区间上的最大值一定是这个区间上所有函数值中的最大值吗? 提示:是. 2.极值能在区间端点处取得吗?最值呢? 提示:极值只能在区间内取得,但是最值可以在区间端点处取得.,【过关小练】 1.函数f(x)=x3-3x(|x|1)() A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,也无最小值D.无最大值,但有最小值 【解析】选C.f(x)=3x2-3.当|x|1时,f(x)0, 所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减,故选C.,2.函数f(x)=x2-4x+1在1,5上的最小值和最大值为() A.-2,6B.-3,-2 C.2,6D.-3,6 【解析】选D.

4、f(x)=2x-4.当x(1,2)时,f(x)0,又因为f(1)=12-41+1=-2,f(5)=52-45+1=6.所以f(x)=x2-4x+1在1,5上的最小值为f(2)=22-42+1=-3,最大值为6.,【归纳总结】 1.最值与极值的区别与联系 (1)最值是个整体概念,而极值是个局部概念. (2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不一定唯一. (3)极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值可能成为最值,最值只要不在端点必为极值.,2.对在闭区间a,b上连续的函数f(x)必有最值的两点说明 (1)给定的区间必须是

5、闭区间,f(x)在开区间上虽然连续,但不能保证 有最大值或最小值.如f(x)= ,x(0,1),f(x)在区间(0,1)上连续, 但没有最大值和最小值(如图).,(2)在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点,也不能保 证f(x)有最大值和最小值,如函数f(x)= 在区间 -1,1上有间断点0,没有最小值(如图).,类型一:求函数的最值 【典例1】(1)函数y= 在0,2上的最大值是() A.当x=1时,y= B.当x=2时,y= C.当x=0时,y=0D.当x= 时,y= (2)求函数f(x)=x3-2x2+1在区间-1,2上的最大值与最小值.,【解题指南】(1)先求极值,再与端点值

6、比较,即可得出最大值.(2)首先求f(x)在(-1,2)内的极值.然后将f(x)的各极值与f(-1),f(2)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,【解析】(1)选A.y= 令y=0,得x=1. 因为x=0时,y=0,x=1时,y= ,x=2时,y= , 所以最大值为 (x=1时取得).,(2)f(x)=3x2-4x. 令f(x)=0,有3x2-4x=0,解得x=0,或x= . 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 故f(x)最大值=1,f(x)最小值=-2.,【规律总结】 1.求可导函数y=f(x)在a,b上的最大(小)值步骤如下 (1)求函数y=f(x)在(a,b

7、)内的极值. (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 2.求函数的最值应注意以下两点 (1)注意给定区间,要在给定区间内列表. (2)极值不一定是最值,一定要将极值与区间端点值比较,必要时需进行分类讨论.,【巩固训练】已知函数f(x)=x3-ax2+3x. (1)若f(x)在1,+)上为增函数,求实数a的取值范围. (2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在1,a上的最小值和最大值. 【解析】(1)因为f(x)=x3-ax2+3x在1,+)上为增函数, 所以f(x)=3x2-2ax+30在1,+)上恒成立. 即a

8、 的最小值. 而y= 3(当且仅当x=1时取最小值. 所以a3.,(2)由题意知f(x)=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3,可得a=5,所以f(x) =3x2-10 x+3=0的根为x=3或x= (舍去),又f(1)=-1,f(3)=-9,f(5)=15, 所以f(x)在1,5上的最小值是f(3)=-9,最大值是f(5)=15.,【补偿训练】函数y= 在(0,1)上的最大值为() A.B.1C.0D.不存在 【解析】选A.y= 由y=0,得x= . 又00, x1时,y0, 所以ymax=,类型二:与参数有关的最值问题 【典例2】(1)函数f(x)=x3-x2-x+a在区间0,2上的最大

9、值是3,则a等于() A.3B.1C.2D.-1 (2)(2015西安高二检测)已知函数f(x)=2x3-6x2+a在-2,2上有最小值-37,求a的值,并求f(x)在-2,2上的最大值.,【解题指南】(1)先在定义域上求出函数的最值,依题意列方程,解方程即可得出结论. (2)先由f(x)=0求出极值点,再求出极值点与区间端点的函数值,通过比较可找出最大值点与最小值点,利用最小值求出a的值后即可确定最大值.,【解析】(1)选B.f(x)=3x2-2x-1,令f(x)=0,解得x=- (舍去)或x=1,又f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,则f(2)最大,即a+2=3,所以a=1.

10、 (2)f(x)=6x2-12x=6x(x-2), 令f(x)=0,得x=0或x=2. 又f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40. f(0)f(2)f(-2), 所以当x=-2时,f(x)min=a-40=-37,得a=3. 所以当x=0时,f(x)max=3.,【延伸探究】(变换条件)若典例(1)中的最大值为3改为最小值为2,结果如何? 【解析】f(x)=3x2-2x-1,令f(x)=0,解得x=- (舍去)或x=1,又f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,则f(1)最小,即a-1=2,所以a=3.,【规律总结】已知函数最值求参数的步骤 (1)求出函数在给定区间上的

11、极值及函数在区间端点处的函数值. (2)通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值. (3)结合已知求出参数,进而使问题得以解决.,【巩固训练】已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在-1,2上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. 【解析】存在.显然a0. f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 令f(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).,(1)当a0时,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表: 所以当x=0时,f(x)取得最大值,所以f(0)=b=3. 又f(2)=-16a+3,f(-1)

12、=-7a+3,f(-1)f(2). 所以当x=2时,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,a=2.,(2)当af(-1). 所以当x=2时,f(x)取得最大值, 即-16a-29=3,a=-2. 综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.,【补偿训练】已知函数f(x)=ax3+c,且f(1)=6,函数f(x)在1,2上的最大值为20,则c的值为() A.1B.4C.-1D.0 【解析】选B.因为f(x)=3ax2,所以f(1)=3a=6, 所以a=2.当x1,2时,f(x)=6x20,即f(x)在1,2上是增函数,所以f(x)max=f(2)=223+c=20, 所以c=4.,类型

13、三:与最值有关的恒成立问题 【典例3】(2015潍坊高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=- 与x=1处都取得极值. (1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间. (2)若对x-1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围. 【解题指南】(1)由已知条件求a,b的值并确定函数f(x)的单调区间. (2)对x-1,2,不等式f(x)c2恒成立应进行转化.,【解析】(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b, 因为f(1)=3+2a+b=0, 解得a=- ,b=-2, 所以f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 当x变化时,f(x),f(

14、x)的变化情况如表:,所以函数f(x)的递增区间为 和(1,+); 递减区间为 (2)由(1)知,f(x)=x3- x2-2x+c,x-1,2,当x=- 时, 为极大值, 因为f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值. 要使f(x)f(2)=2+c,解得c2.,【延伸探究】 1.(改变问法)若典例(1)中条件不变,问法改为求函数f(x)在区间 -1,2上的最值,结果如何. 【解析】f(x)=(3x+2)(x-1),当x变化时,f(x),f(x)变化情况如表:,由于 所以f(x)在区间-1,2上的最大值为2+c,最小值为- +c.,2.(改变问法)若典例(2)中条件不变,问法“若对x-1,

15、2,不等式f(x)c- ,所以f(1)=c- 为最小值. 因为存在x-1,2,不等式f(x)f(1)=c- ,解得cR.,【规律总结】 1.证明不等式,研究方程根的个数、两函数图象的交点个数、图象的分布范围等问题,导数和数形结合是一种很有效的工具,经常通过分析函数的变化情况,结合图形分析求解.,2.恒成立问题向最值转化也是一种常见题型 (1)要使不等式f(x)f(x)max,则上面的不等式恒成立. (2)要使不等式f(x)h在区间m,n上恒成立,可先在区间m,n上求出函数f(x)的最小值f(x)min,只要f(x)minh,则不等式f(x)h恒成立.,【补偿训练】已知函数f(x)= x3+ax+b(a,bR)在x=2处取得极小值 - . (1)求f(x)的单调递增区间. (2)若f(x)m2+m+ 在-4,3上恒成立,求实数m的取值范围.,【解析】(