二次函数中存在直角三角形综合题

1、1、如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点.（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.解：（1）抛物线顶点的坐标为（1，m）2分抛物线与轴交于两点，当时，解得两点的坐标为（）、（）. 4分（2）当时，点的坐标为.5分过点作轴于点，则 = = =3m. 7分8分（3）存在使为直角三角形的抛物线.过点作于点，则为，在中，在中，如果是，且那么即解得，存在抛物线使得是；10分如果是，且那么即解得，存在抛物线，使得是；如果是，且，那么即整理得此方程无解.以为直

2、角的直角三角形不存在.综上所述，存在抛物线和使得是.12分2、（2013连云港模拟）如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，ACM的面积最大；（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），16+4m+n042m+n0，解得m2n8抛物线的解析式为y=-x2+2x+8（2）设M坐标为（a，-a2+2a+8），其中a0抛物

3、线与y轴交于点C，C（0，8）A（4，0），C（0，8）直线AC的解析式为y=-2x+8过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为（a，-2a+8）ACM的面积=MNC的面积+AMN的面积=-a2+4a=-（a-2）2+4当a=2，即M坐标为（2，8）时，ACM的面积最大，最大面积为4（3）当ACP=90时，点P的坐标为（1，9.5）；当CAP=90时，点P的坐标为（1，-1.5）；当APC=90时，点P的坐标为（1，4+19）或（1，4-19）4、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点M在第一象限，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交与点C，O为坐标原点，

4、如果ABM是直角三角形，AB=2，OM （1）求点M的坐标；（2）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）点M为抛物线的顶点，MA=MB，又ABM是直角三角形，AMB是等腰直角三角形，AB=2，ME=1，在RtOME中，可得OE=OM2ME2=2，故可得点M的坐标为（2，1）（2）AE=BE=12AB=1，OE=2，OA=1，OB=3，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），将点A、B、M的坐标代入抛物线解析式可得：a+b+c09a+3b+c04a+2b+c1，解得：a1b4c3，故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3（3）设点P的坐标为（2，y），则AC2=10，AP2=1+y2，CP2=4+（y+3）2，当PAC=90时，AC2+AP2=CP2，即10+1+y2=4+（y+3）2，解得：y=-13，即此时点P的坐标为（2，-13）；当PCA=90时，AC2+CP2=AP2，即10+4+（y+3）2=1+y2，解得：y=-113，即此时点P的坐标为（2，-113）；当APC=90时，AP2+CP2=AC2，即1+y2+4+（y+3）2=1