探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 (3).ppt

1、第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理,1.1.1正弦定理,新课导入,知识探究,题型探究,达标检测,新课导入实例引领 思维激活,实例:已知ABC的外接圆的半径为R,ABC中A所对的边BC长为a,B所对的边AC长为b,C所对的边AB长为c. (1)ABC为直角三角形时如图(1)所示,C=90,则AB=2R.a=2RsinA,b=2RsinB,C=2R=2RsinC.,(2)ABC为锐角三角形时,如图(2).,连结AO并延长交O于点D,连结CD. 则B=D,AD=2R,ACDC, 在RtADC中,b=2RsinD, b=2RsinB. 同理可得a=2RsinA,c=2RsinC.,(3)ABC为

2、钝角三角形时,如图(3)所示. 连结BO并延长交O于点E,连结AE, 则BE=2R,ABAE,E+C=180. 在RtABE中,c=2RsinE=2Rsin(180-C)=2RsinC. 易证a=2RsinA,b=2RsinB.,想一想 根据实例你能得出三角形中边角之间的关系式吗?,知识探究自主梳理 思考辨析,2.解三角形 一般地,把三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的 ,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 3.正弦定理的应用 正弦定理主要用于解决下列两类问题: (1)已知ABC两角和任意一边,求其他两边和一角. (2)已知ABC两边和其中一边的对角,求

3、另外一边的对角和其他的边角,元素,思考2:在ABC中,若AB,是否有sinAsinB?反之,是否成立?,拓展提升:在ABC中,已知a,b和A时三角形解的情况: 见附表,题型探究典例剖析 举一反三,题型一 已知两角及一边解三角形 【例1】 在ABC中,已知a=8,B=60,C=75, 求A,b,c.,跟踪训练1-1:在ABC中,已知A=45,B=30,a=2,求出其他边和角的大小.,题后反思 已知三角形中的两边和其中一边的对角,解三角形时对解的情况进行讨论(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐

4、角,由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.,题型三 利用正弦定理判断三角形的形状 【例3】 在ABC中,若b=acos C,试判断该三角形的形状. 名师导引:已知条件等式中既含有边,又含有角,应怎样进行转化?(应将边化为角,或者将角化为边,但考虑到等式中是角的余弦值,不宜将角化为边,因此应将边化为角),题后反思 根据边角关系判断三角形形状的途径: 利用正弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状; 利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函

5、数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=这个结论. 在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.,跟踪训练3-1:在ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B) =sin2C,则ABC是三角形.,答案:直角,备选例题,达标检测反馈矫正 及时总结,1.在ABC中,下列关系一定成立的是( ) (A)absin A(B)a=bsin A (C)absin A(D)absin A,D,D,3.在ABC中,a=5,b=13,则sin Asin B=.,答案:513,答案:105或15,课堂小结 正弦定理表达了三角形的边和角的关系,是解三角形的重要工具.利用正弦定理可以解以下两类三角形: (1