条件概率教学设计

1、.8.2.2条件概率一、教学目标（一）知识目标在具体情境中， 了解条件概率的概念， 掌握条件概率的计算公式， 并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题 .（二）情感目标创设教学情境， 培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣， 加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质（三）能力目标在知识的教学过程中， 培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法二、教学重点条件概率的概念，条件概率公式的简单应用.三、教学难点正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题.四、教学过程（一）引入课题教师 （配合多媒体演示）

2、问题 1：掷一个骰子，求掷出的点数为3 的概率 .1学生 （回答）6教师 （引导学生一起分析）本次试验的全集 1,2,3,4,5,6，设 b 掷出点数为 3，则 b 的基本事件数为1.b中的元素数1p(b)中的元素数6教师 （配合多媒体演示）问题 2：掷一个骰子，已知掷出了奇数，求这个奇数是3 的概率 .学生 1（回答）3教师 （引导学生一起分析）已知掷出了奇数后，试验的可能结果只有3 个，它们是1,3,5. 本次试验的全集改变为a 1,3,5 ，这时相对于问题1，试验的条件已经改变 .设 b 掷出的点数为 3，则 b 3，这时全集 a 所含基本事件数为3，b 所含基本事件数为 1，则 p（已

3、知掷出奇数的条件下，掷出3）b中的元素数1.a 中的元素数3教师 （针对问题 2 再次设问）问题 2 与问题1 都是求掷出奇数3的概率，为什么结果不一样？学生 这两个问题的提法是不一样的，问题1是在原有条件（即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形） 下求得的； 而问题 2 是一种新的提法， 即在原有条件下还另外增加了一个附加条件（已知掷出点数为奇数）下求得的，显然这种带附加条件的概率不同于p(a) 也不同 p(a b).教师 （归纳小结，引出条件概率的概念）问题2 虽然也是讨论事件 b（掷出点数3）的概率， 但是却以已知事件a（掷出奇数为前提的，这样的概率称为 a 发生条件下的事件b发

4、生的条件概率 .（板书课题条件概率）（二）传授新知1形成概念教师 在引入课题的基础上引出下列概念：（多媒体演示）设a 、b 是事件，用p(b|a) 表示已知a 发生的条件下b 发生的条件概.率，简称为条件概率.2归纳公式引例 1：（多媒体演示）某校高中三个年段各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会， 每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，求高一的女生获得冠军的概率.学生 （口答）设a 只有一名女生获得冠军， b高一女生获得冠军依题意知已知 a 发生的条件下，a 成为试验的全集，b 是 a 的子集， a 所含元素数b中元素数1为 3， b 所含元素数为1，则 p(b | a) a中

5、元素数 3教师 （问） p(a) 为多少？ p(a b) 为多少？ p(a),p(a b),p(b|a) 之间有何关系？学生 （口答）p( a)31 , p( ab)1626p( a b)p(b | a)p( a)教师 这个式子的含义是明确的. 由此，便将 p(b|a) 表示成 p(a b)与 p(a) 之比，这为我们在原样本空间下完成条件概率 p(b|a) 的计算提供了方便. 那么是否其它情况下条件概率仍有上述的计算公式呢？我们再看一个例子：（多媒体演示）引例2：在一副扑克的 52张（去掉两张王牌后）中任取1 张，已知抽到草花的条件下，求抽到的是草花5 的概率 .学生 （口答）设 a 抽到草

6、花 ， b抽到草花5，依题意知已知 a 发生的条件下 a 成为试验的全集，a 中的元素发生的可能性相同，b 是 a 的子集 .一副扑克中草花有13 张 a 所含元素数为 13， b 所含元素数为 1.则 p(b | a)b中元素数 1.a 中元素数13教师 本例中 p(a) 为多少？ p(a b) 为多少？ p(b|a) 与 p(a) 、 p(a b) 是否仍有上例的关系？学生 由于 p(a)131p( a b)， p( ab)所以也有 p(b | a).5252p( a)教师 综合引例 1 与引例 2 我们可由特殊到一般地归纳出下列的条件概率的计算公式：（多媒体演示）条件概率公式：若p(a)

7、0则 p( b | a)p( a b).p( a)注：（ 1）其中 p(a)0 是在概率的非负性的基础上，要求p(a) 0,以保证 p( a b) 有p( a)意义；（2）类似地，若p(b)0 则 p(b | a)p( a b)；p( a)（3）公式的变形可得（概率的乘法公式）：若 p(a)0,则 p(a b) p(a) p(b|a).（三）讲解例题1条件概率计算公式的应用例 1由人口统计资料发现，某城市居民从出生算起活到70 岁以上的概率为 0.7 ，活到80 岁以上的概率是0.4 ，若已知某人现在 70 岁，试问他能活到80 岁的概率是多少？解析：设 a活到70 岁以上，b活到80 岁以上

8、，则 p(a)=0.7 p(b)=0.4又 bp( ab)0.40.57 .a p(a b)= p(b)=0.4 p( b | a)0.7p( a)教师 在求条件概率时，要求知道两事件之积(a b) 的概率，这概率或者题设已经给出，或者隐含在其他条件中，需要对所给条件进行分析才能得到.2上述例题是通过条件概率公式来计算条件概率，但有时候根据问题的特点可以直接得到结果 .如下面的例 2 就是这样一个典型例子 .例 2.（ 本 p54/例 3） 把一副扑克的52 随机均分 、 、 、李四家，a 家分得的 13 牌中有 6 草花， b 家分得的 13 牌中有3 草花 . 算 p(b|a) 算 p(a

9、 b)解析：四家各有13 牌，已知 a 生后， a 的 13 牌已固定 . 余下的 39 牌中恰有7 草花，在另三家中的分派是等可能的. 已 成：39 牌中有 7 草花，将 39 牌随机分 、 、李三家，求 家得到 3 草花的概率. 于是 p(b | a)c73c39107 / c39130.278.在 52 牌中任 13 牌有 c5213 种不同的等可能的 果. 于是中元素数 c5213 ， a中元素数 c136 c397 . 利用条件概率公式得到p(a b) p(a) p(b|a) c136c3970.278c52130.012.教 上各例所述我 看到：（）条件概率公式提供了p(a b)

10、、 p(a) 、 p(b|a) 三者之 的关系，三者中知二求三，关 在于分析 中已知什么，要求什么.（）我 也可以把条件概率 化 古典概型的概率 ，从而将条件概率的 算 化 古典概型的概率的 算（如例2 中p( b | a)b中元素数 c 73c1039 7 ）.中元素数c1339（四）技能 本第 54 （ 1）（ 2）（ 3）学生 中 的全集= (i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6（ 1） a投 一枚骰子是偶数点(i,j)|i=2,4,6 ,j=1,2,3,4,5,6b 投 另一枚骰子也是偶数点=(i,j)|i=1,2, 6 ,j=2,4,6 a b=(i,j)|i=2,4,6, j=

11、2,4,6a 投 两枚骰子都是奇数点 (i,j)|i=1,3,5, j=1,3,5p( a)1 p( a)c31c3113114c61 c614c31c311p( a b)11p( ap(b | a)4b)4p( a)33c61c614因此已知一枚是偶数点，另一枚也是偶数点的概率 1 .3（ 2） a (1,1),(2,2),(3,3),(4,4)(5,5),(6,6) b=(3,3)则 a b (3,3)p(a)= 61p( a b)11366361p(b | a)36166因此已知两枚点数相同条件下，点数都是3 的概率 1 .6（ 3）a （3,3），（ 1,5），（ 5,1），（ 2,4

12、），（ 4,2）b （1,1），（ 2,2），（ 3,3），（ 4,4），（ 5,5），（6,6）.则 a b （ 3,3）p( a15b)p( a)136361p( b | a)365.536因此已知点数和中6条件下两枚骰子点数相同的概率为1 .5教师 （引导学生得到（2）（3）题的另一种解法）我们也可以用另一种观点来求p(b|a) 即通过转化样本空间，将 a 看着试验的全集 （样本空间），在 a 中考虑满足 b 的元b中元素数 1 . （ 3） p(b | a)b中元素数1 .素数，则有解法 2：（ 2） p(b | a)a 中元素数6a中元素数5（五）课堂小结1条件概率是指在已知事件a

13、发生的条件下，事件 b 发生的概率 .2求条件概率的方法有两种：一是利用条件概率公式即先分别求p( a b)来p(a) 和 p(a b) ，再用公式 p( b | a)p( a)计算 .二是转化为概率，即（1）把 a 看着试验的全集（样本空间），从而把p(b|a) 转化为新样本空间 a 下的概率，再用公式b中元素数直接得到结果 .（如练习（ 2）（3）p(b | a)a中元素数的解法）3把条件概率问题直接转化为古典概型的问题求解.（如例2（课本 p54/例 3）的第题）（六）思维与拓展：1两台车床加工同一种零件共100 个，结果如下表正品数次品数总计第一台车床加工数35540第二台车床加工数5

14、01060总计8515100设 a 从 100 个零件中任取一个是正品 ， b从 100 个零件中任取一个是第一台车床加工的，求 p(a|b) 和 p(b | a) .解析：8540p( a)p( b)10010035p( a)155p( a b)100p( a b)100100p( ab)350.875p( a | b)40p( b)p( a b)50.333p( b | a)15p( a)2 p(a)p(a|b) 对吗？解析：一般说来， p(a) 与 p(a|b) 之间并没有什么必然的关系.事实上，“事件 b 已经发生”这一条件可能使p(a|b) 比 p(a) 大，也可能使p(a|b) 比 p(a) 小，还可能p(a|b) p(a). 但是如.果 a ，b 之间存在一些特殊的关系，