模煳集理论及其应用_第一章.ppt

1、1,模糊集理论及其应用,陈水利 厦门 集美大学 理学院,2,第一章 模糊集合及其运算,1.1 经典集合与特征函数( P34) 1.2 模糊集合与隶属函数( P511) 1.3 模糊集合的运算( P1214) 1.4 模糊集合的分解定理与表现定理( P1524),3,5,10,15,3,第一章 模糊集合及其运算,所谓集合，是指具有某种特定属性的对象集体设 为所讨论对象的全体，称之为论域显然，论域 是一个集合论域 中的每个对象 u 称为 的元素如此定义的集合通常称为Cantor 集合or经典集合. 设 A 为论域上的一个集合，则 u， uA or uA ，二者必居且仅居其一这种关系可用如下二值函数

2、表示之： A ： 0，1， 1， uA u A ( u ) = 0， uA 称 A 为集合A的特征函数反之，给定一个二值函数 A ： 0，1， u A ( u ) 可唯一确定一个经典集合 A ，即A = u， A ( u ) = 1 ,1.1 经典集合与特征函数,1.1 经典集合与特征函数(1/2),目 录,4,由此可见，经典集合A 与其特征函数 A 是一一对应的 由于A 只取0和1两个值，故经典集合A 只能用来描述界限分明的研究对象，对界限不分明的对象却无能为力。比如，对“年轻”这个模糊概念，用经典集合就无法给出合理的描述。而在自然界和现实生活中，模糊现象是普遍存在的。因此，必须把经典集合扩

3、充，使之能够刻划模糊现象和解决模糊性问题。,1.1 经典集合与特征函数(2/2),目 录,5,1.2.1 模糊集合的定义 为了定量地刻画模糊概念和模糊现象，美国计算机与控制论专家，California 大学 Buckely 分校.adeh 教授于1965年提出了模糊集合概念，具体定义如下: 定义1.2.1 设 为论域，则称由如下实值函数 A ： 0，1 ， u A ( u ) 所确定的集合 A 为 上的模糊集合，而称A 为模糊集合A 的隶属函数，A ( u )称为元素 u 对于A 的隶属度。,1.2 模糊集合与隶属函数,1.2 模糊集合与隶属函数(1/5),目 录,6,由此可见，模糊集合 A

4、是一个抽象的概念，其元素是不确定的， 我们只能通过隶属函数A来认识和掌握 A A(u)的数值的大小反映了论域 中的元素 u 对于模糊集合 A 的隶属程度， A(u)的值越接近于1 ，表示u隶属于A 的程度越高；而(u)的值越接近于，表示u隶属于 A 的程度越低特别地， 若A(u) =，则认为u完全属于A ； 若A(u) =，则认为u完全不属于A 因此, 经典集合可看作是特殊的模糊集合 换言之，模糊集合是经典集合的推广。,7,若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典集合和所有模糊集合的全体，则 P ( U ) F ( U ). 通常称P ( U )为U 的幂集， 而称F (

5、 U )为U 的模糊幂集。 由于模糊集合A只能由其隶属函数A来表达，故为方便起见，我们将用记号A(u)来代替A(u) , 即 A(u) A(u) 这样，模糊集合与其隶属函数的记号将不加区分,1.2 模糊集合与隶属函数(2/5),目 录,8,1. Zadeh 表示法 (1) 若论域U 为有限集，即U =u1 , u2 , , un，则 A F ( U ) 可表示为 这里 不表示为“分数”，而是表示 ui 隶属于A 的程度为A( ui ) ； 符号“+”也不表示加号，而是一种联系符号。,1.2.2 模糊集合的表示方法,1.2 模糊集合与隶属函数(3/5),目 录,9,例1.2.1：设U =u1 ,

6、 u2 , u3 , u4 , u5 ，则 表示论域U 上 u1 对于A 的隶属度为0.87 ， u2 对于A 的隶属度为0.75 ， u3 对于A 的隶属度为0.96 ， u4 对于A 的隶属度为0.78 ， u5 对于A 的隶属度为0.56 的模糊集合 。,10,(2) 若论域U 为无限集，则 A F ( U ) 可表示为 这里“ ”不表示为积分号，而是表示 各个元素与隶属度对应关系的一个总括。 例1.2.2 以年龄作为论域，取U =0，200， Zadeh给出“年轻”这个模糊集合Y 的隶属函数为 用Zadeh表示法就是,1.2 模糊集合与隶属函数(4/5),目 录,11,1.2.2 模糊

7、集合的表示方法 2. 向量表示法 当论域U =u1 , u2 , , un 时， A F ( U ) 也可用如下向量来表示： A=(A(u1 ) ，A(u2)， ，A( un) (1-2-3) 例如，例1.2.1中的模糊集合A也可表示为 A=(0.87 ，0.75， 0.96，0.78，0.56) 由于A( ui ) 0,1(i=1，2，n )，故称式(1-2-3)所示的向量为模糊向量。,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),目 录,12,1.3.1 经典集合的运算及其性质 由于经典集合可由其特征函数唯一确定，故经典集合的运算可通过特征函数的运算来描述，具体定义如下： 定义1.3.1 设 A,

8、B P ( U )，则 ( i ) A B iff uU , A(u) B(u); ( ii) A = B iff uU , A(u) = B(u); (iii) AB: uU , AB (u) = max A(u) ,B(u); (vi) AB: uU , AB (u) = min A(u) ,B(u); ( v) A: uU, A(u) = 1A(u) . 利用定义1.3.1不难验证，经典集合关于“(并), (交), (补)”这三种运算具有如下九条基本性质.,1.3 模糊集合的运算,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),目 录,13,1.3.1 经典集合的运算及其性质 定理1.3.1 设

9、A , B , C P ( U )，则 (1) 幂等律：AA = A , AA = A ; (2) 交换律：AB = BA , AB = BA ; (3) 结合律：( AB )C = A( BC ), ( AB )C = A( BC ); (4) 吸收律：( AB )B = B , ( AB )B = B ; (5) 分配律：A( BC ) = ( AB )( AC ), A( BC ) = ( AB )( AC ); (6) 复原律： (A )= A ; (7) 两极律： AU = U , AU = A , A = A , A = ; (8) De Morgan律： ( AB ) = AB

10、, ( AB ) = AB ; (9) 排中律(互补律)： AA = U , AA = . 由此可见， (P ( U ) , , , )构成一个布尔代数。,3 模糊集合的运算,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),目 录,14,3 模糊集合的运算,1.2 模糊集合与隶属函数(5/5),1.3.2 模糊集合的运算及其性质 由于经典集合是模糊集合的特例，即经典集合的特征函数是一种特殊的隶属函数，于是，Zadeh由经典集合的特征函数的运算性质出发，引入模糊集合的运算如下： 定义1.3.2 设 A , B F ( U ) , 则 ( i ) A B iff A(u) B(u) , uU ; (ii )

11、 A = B iff A(u) = B(u) , uU ; (iii) AB : (A B) (u) = max A(u), B(u)= A(u) B(u), uU ; ( v ) AB : (A B) (u) = min A(u), B(u)= A(u) B(u), uU ; ( vi) A: A(u) = 1A(u) , uU . 如下图所示:,目 录,15,例1.3.1 设U =u1 , u2 , u3 , u4 时， A,B F( U ) 且 A=(0.8, 0.9, 0.3, 0.6) , B=(0.2, 0.5, 0.6, 0.2) 则 (i) AB且 B A, A B (ii)

12、AB =(0.80.2, 0.90.5, 0.30.6, 0.60.2) =(0.8, 0.9, 0.6, 0.6) (iii) AB =(0.80.2, 0.9 0.5, 0.3 0.6, 0.6 0.2) =(0.2, 0.5, 0.3, 0.2) (vi) A =(10.8, 1 0.9, 1 0.3, 1 0.6) =(0.2, 0.1, 0.7, 0.4) 类似于定理1.3.1,模糊集合关于“(并), (交), (补)”这三种运算满足定理1.3中的前八条运算,即,目 录,16,定理1.3.2 在(F( U ), , , )中,幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、复原律、两极律和D

13、e Morgan对偶律均成立,但排中律不成立. 即 (1) 幂等律：AA = A , AA = A ; (2) 交换律：AB = BA , AB = BA ; (3) 结合律：( AB )C = A( BC ), ( AB )C = A( BC ); (4) 吸收律：( AB )B = B , ( AB )B = B ; (5) 分配律：A( BC ) = ( AB )( AC ), A( BC ) = ( AB )( AC ); (6) 复原律： (A )= A ; (7) 两极律： AU = U , AU = A , A = A , A = ; (8) De Morgan律： ( AB )

14、 = AB , ( AB ) = AB. 但是, AA U, AA ,17,例如: 设A=(0.8, 0.3, 0.7, 0.5), 则A =(0.2, 0.7, 0.3, 0.5) A A =(0.8, 0.7, 0.7, 0.5) (1, 1, 1, 1)= U A A =(0.2, 0.3, 0.3, 0.5) (0, 0, 0, 0)= 由此可见, (F( U ), , , )不构成一个布尔代数,而是构成一个软代数系统, 称之为 模糊格(Fuzzy Lattice),18,注1.3.1 两个模糊集合的并、交运算可推广到一般情形. 即设T为任意给定的指标集, tT, A, B F( U

15、), 则 (tT At)(u)=tTAt(u); (tT At)(u)=tTAt(u). 注1.3.2 上述介绍的模糊集合的并、交运算(, )是有Zadeh提出的, 称之为模糊格运算,它是经典集合格运算的直接推广. 然而, 推广的方式不是唯一的. 可以有多种推广方式, 例如:,目 录,19,20,1.4 模糊集合的分解定理与表现定理 1.4.1 模糊集合的截集 定义1.4.1 设A F( U ), 任取0,1,记 A=uU|A(u), AS=uU|A(u). 分别称A和AS为模糊集合A的截集和强截集, 而称为阀值或置信水平. 例1.4.1 设U =u1 , u2 , u3 , u4 ，A F(

16、 U )且 A=(0.6, 0.3, 0.5, 0.8) , 求A0.5 , AS0.5 解: A0.5=uU|A(u)0.5 =u1 , u3 , u4 AS0.5=uU|A(u)0.5 =u1 , u4 ,目 录,21,例1.4.2 设U=(, ), A F( U )且 求A和AS,这里0,1 解: 因对0,1,有,目 录,22,定理1.4.1 设AF( U ), 则 (1) 0,1, AS A ; (2) A0=U , AS1 =; (3) 1 , 20,1且12 , A2 A1 ; (4) 1 , 20,1且12 , AS2 AS1 . 此定理表明: (i) AS 是A的子集; (ii

17、) A的截集族A0,1和强截集族AS 0,1都是一个套着一个的经典集合族.,目 录,23,定理1.4.2 设A,BF( U ), 0,1,则 (1) (AB)=AB; (2) (AB)=AB; (3) (AB)S=ASBS; (4) (AB)S=ASBS. 证明:(1) uU , u(AB) , iff (AB)(u) iff A(u)B(u), iff A(u) or B(u), iff uA 或 uB , iff uA B (AB)=AB 同理可证(2)(4). 但对于无限个模糊集的情形, 结论(1)和结论(4)一般不成立,即有,24,定理1.4.3 设T为任意指标集, tT, At F(

18、 U )则 (1) (tTAt)tT (At); (2) (tTAt)=tT (At); (3) (tTAt)S=tT (At)S; (4) (tTAt)StT (At)S.,目 录,25,证明: (1) uU, utT (At) t0T,使 u(At0) t0T,使(At0)(u) tTAt(u) At0(u) u(tTAt) tT (At) (tTAt) 同理可证(2)(4).,26,定理1.4.4 设AF( U ), T为任意指标集, 且tT, t0,1, 则 (1) A(tTt)=tT At ; (2) AS(tTt)= tT ASt; (3) 0,1, (A) =(AS(1-); (

19、4) 0,1, (A) S =(A1-) .,27,证明: (1)uU, uA(tTt) A(u) tT t tT, A(u) t tT, u At u tTAt A(tTt)=tT At (3) uU, u (A) A(u) 1A(u) A(u)1 A(u)1 uAS(1-) u(AS(1-) (A) =(AS(1-) 同理可证(2)和(4).,28,注1.4.1: (A) =(A)一般不成立. 例如: 取U=0,1, A(u)=0.5,uU,则A =A,对=0.3,有(A)0.3= U =A0.3,从而(A 0.3) =,故(A)0.3 (A 0.3).,目 录,29,1.4.2 正规模糊

20、集 在实际应用中, A1和AS0这两个截集很有用, 我们分别称A1和AS0为A的核和支集, 分别记作 kerA=uU|A(u)=1 和 suppA=uU|A(u) 而称AS0A1为A的边界,记作 bonA=uU|A(u)0且A(u)1,30,定义1.4.2 设AF( U ),如果kerA,则称A为正规模糊集. 例如: 设U =u1 , u2 , u3 , u4 , A, BF( U ), A=(0.8,1,0.6,0.2), B=(0.3,0.5,0.9,0.2), 则kerA=u2, kerB= , 故A是正规模糊集, 而B不是正规模糊集. 由此可见, A的核kerA是完全属于A的元素所构成

21、的,随着由1向0递减变化, A从kerA出发不断扩大,最终达到最大集合suppA.而A的边界bonA则是介于完全属于A和完全不属于A的元素的全体,称之为A的”灰色”地带.,31,1.4.3 分解定理,() 数与模糊集的截积运算 定义1.4.3 设0,1, AF( U ),则与A的截积(记作A)定义为 (A)(u)=A(u),uU. 其中 由此可见, A仍为U的模糊集合.特别地, 若A为经典集合, 则A就变为模糊集合, 这是因为,目 录,32,() 分解定理 定理1.4.5 (分解定理)设AF( U ), 则 A=0,1A (1-4-1) 证明: 根据模糊集合的相等运算, 我们只需证明uU,有

22、A(u)=0,1 A(u) 事实上，因为A(u) 0,1,故 0,1 A(u) = 0, A(u) A(u) (A(u),1 A(u) ,33,注意到 所以0,1 A(u)= 0, A(u) A(u) = 0, A(u) 1 = 0, A(u) = A(u). 由此可得一个求A的隶属函数的公式如下: 推论1.4.1 设AF( U ), 则A的隶属函数为 A(u)=0,1| u A (1-4-2),目 录,34,同理可证如下结论. 定理1.4.6(分解定理)设AF( U ),则 A=0,1AS (1-4-3) 推论1.4.2 设AF( U ),则A的隶属函数为 A(u)=0,1| u AS, u

23、U (1-4-4),35,更一般地, 我们有如下结论. 定理1.4.7(分解定理)设AF( U ) ,令集值映射 H:0,1P( U ) H() 满足:0,1, AS H() A, 则 (1) A=0,1H() (1-4-5) (2) 对1,20,1, 12 H(1) H(2); (3) 0,1,有 A = H() (1-4-7),目 录,36,推论1.4.3 设AF( U ),则A的隶属函数可由下式给出 A(u)=0,1| u H(),uU. (1-4-8) 显然,当H()= A时,分解定理就退化为分解定理, 当H()= AS时, 分解定理就退化为分解定理, 因此, 分解定理是分解定理和分解

24、定理的推广.,37,注1.4.2: 分解定理表明: 任何模糊集A都可分解成一个套着一个的经典集合族与0,1中所有实数的截积之并. 下面的表现定理则表明: 任何一个套着一个的经典集合族都可构造出一个模糊集.,38,1.4.4 表现定理 ().集合套 定义1.4.4 设H:0,1P( U ), H()为一个集值映射,若H满足12 H(1) H(2),则称H为U上的一个集合套. 记U( U )为论域U上的集合套的全体. 显然,分解定理分解定理的集合族 A0,1,AS0,1和H()0,1 都是U上的集合套.,目 录,39,定理1.4.8(表现定理) 设H为U上的任一集合套, 则 A=0,1H()F(

25、U ) 且0,1, 有 (1) A = H(),40,注1.4.3: 表现定理给我们一个集合套构造模糊集合的方法, 即 设H U( U ), 则 A=0,1 H()的隶属函数为 A(u)=0,1| u H(),uU.,41,例1.4.1 设U =u1 , u2 , u3 , u4 , u5,给定U上一个集合套H如下: =0: H() =u1 , u2 , u3 , u4 , u5 00.2: H() =u2 , u3 , u4 , u5 0.2 0.5: H() =u2 , u4 , u5 0.5 0.8: H() =u2 , u4 0.8 1: H() =u4 试求A=0,1 H().,目

26、录,42,解: A(u1)=0,1| u1 H()=0 A(u2)=0,1| u2 H()=0, 0.8 =0.8 A(u3)=0,1| u3 H()=0, 0.2) =0.2 A(u4)=0,1| u4 H()=0, 1 =1 A(u5)=0,1| u5 H()=0, 0.5 =0.5 A=(0, 0.8, 0.2, 1 , 0.5),43,1.5 模糊性的度量 定义1.5.1 设映射 D: F(U) 0,1 满足下列5条性质: 1)清晰性:D(A)=0,当且仅当A P(U) 2)模糊性: D(A)=1,当且仅当u U, A(u) =0.5 3)单调性:若u U, A(u) B(u) 0.5

27、,或者A(u) B(u) 0.5,则 D(A) D(B) 4)对称性: A F(U) , D(A)= D(A) 5)可加性： D(AB)+ D(AB)= D(A)+D(B) 则称D为定义在F(U) 上的模糊度函数，称D(A) 为模糊集A的模糊度。,44,1.5.1有限论域上的模糊度 定理1.5.1 设 U =u1 , u2 , , un,考虑映射 D: F(U) 0,1 A D(A)=g( ci fi ( A(ui) ) 其中ci为正实数，而fi ：0,1 0,+）满足 1） x 0,1 , fi (x)= fi (1-x) 2) fi (0)= 0 3) fi (x)在0,0.5 上严格递增

28、 记a= ci fi (0.5), g :0,a 0,+）严格递增，则D为F(U) 上 的模糊度函数.,45,证明：由条件1）和2）知， i 1, 2, 3, n有fi (0)= fi (1)=0，且若A P(U), 则A(ui)=0或1, 故 D(A)=g( ci fi ( A(ui) ) )=g(0)=0. 反之，若A F(U), 且D(A)=0, 则由g的单调性且 g(0)=0，必有 ci fi ( A(ui) = 0 从而i 1, 2, 3, n, A(ui) = 0或1, 即A P(U),于是清晰性成立。,46,设uU , A(u)=0.5，则 D(A) = g( ci fi ( 0.5) )= g(a) =1 反之，若D(A) = 1，则由于g的严格单调性, g(a)=1， ci fi (A(ui) ) = a = ci fi ( 0.5) . 从而i 1,2,3,n, A(ui) = 0.5, 于是，模糊性也成立。 同理可证单调性，对称性，可加性。,47,例1.5.1 设 U =u1 , u2 , , un, A F(U) , 且 其中p 0，则 为A的模糊度 证明 设i 1,2,3,n, ci = 1,且 则fi ( 1- x) =