上海历年高考数学压轴题题选

1、.上海历年高考数学压轴题题选（ 2012 文）23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第1 小题满分 4 分，第2 小题满分 6 分，第 3 小题满分8 分对于项数为 m 的有穷数列 an，记 bkmaxa1 , a2 ,., ak（ k1,2,., m ），即 bk 为 a1 , a2 ,., ak 中的最大值，并称数列bn 是 an 的控制数列，如1，3， 2， 5， 5 的控制数列是1，3， 3， 5， 5（ 1）若各项均为正整数的数列an的控制数列为2， 3，4， 5， 5，写出所有的 an（ 2）设 b是 a 的控制数列， 满足 ak bmk1c（ c 为常数， k1,2,

2、., m ），求证： bkak（ k1,2,., m ）nn1 ,1an2n ( n1)（ 3）设 m100 ，常数 a，若 an( 1) 2n ， bn是 an 的控制数列，2求 (b1 a1) (b2 a2 ).(b100 a100 )（ 2012 理）23、（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分r r对于数集 x1, x1 , x2 ,., xn，其中 0x1x2 . xn ，n 2 ，定义向量集 ya a (s,t ), s x , t x ，uruururuur0 ，则称 x 具有性质 p ，例如 1,1,2具有性

3、质 p若对任意 a1y ，存在 a2 y ，使得 a1a2（ 1）若 x2 ，且 1,1,2, x具有性质 p ，求 x 的值（ 2）若 x 具有性质 p ，求证： 1x ，且当 xn1时， x1 1（ 3）若 x 具有性质 p ，且 x11、 x2q （ q为常数），求有穷数列 x1, x2 ,., xn 的通项公式.（ 2012 春）23. (本题满分18 分 ) 本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分9 分 .（ 2011 文）23、（18分）已知数列 a和 bn 的通项公式分别为a3n 6b 2n 7（n n* ），将集合nn， n x |

4、xan ,nn * u x | xbn , nn * 中的元素从小到大依次排列，构成数列c1 , c2, c3 ,l , cn ,l 。求三个最小的数，使它们既是数列an 中的项，又是数列 b 中的项；nc1, c2 ,c3,l ,c40 中有多少项不是数列 bn 中的项？说明理由；求数列 c 的前4n项和 s（nn*）。n4 n（2011 理）22、（ 18 分）已知数列 an 和 bn 的通项公式分别为 an3n 6 ， bn 2n7 （ nn * ），将集合 x | x an ,n n * u x | x bn , n n * 中的元素从小到大依次排列，构成数列1 23n。c , c,

5、c ,l , c ,l 求 c1, c2 , c3 , c4 ； 求证：在数列 cn 中、但不在数列 bn 中的项恰为a2 ,a4 ,l , a2 n ,l ； 求数列 cn 的通项公式。.（ 2011 理）23、（ 18 分）已知平面上的线段l 及点 p ，在 l 上任取一点 q ，线段 pq 长度的最小值称为点p 到线段 l 的距离，记作 d (p,l ) 。求点 p(1,1)到线段 l : x y30(3 x 5) 的距离 d (p, l ) ；设 l 是长为 2 的线段，求点集d p | d ( p, l )1 所表示图形的面积；写出到两条线段 l1, l2 距离相等的点的集合 p |

6、 d ( p, l1 ) d ( p,l 2 ) ，其中 l1ab, l2 cd ，a, b, c , d 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2 分， 6 分， 8 分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。a(1,3), b(1,0), c (1,3), d(1,0) 。a(1,3), b(1,0), c (1,3), d(1,2) 。 a(0,1), b(0,0), c (0,0), d (2,0) 。（ 2011 春）21. ( 本题满分 14 分 ) 本题公园小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分。已知抛物线f : x 24 y

7、（ 1） abc 的三个顶点在抛物线f 上，记 abc 的三边 ab 、bc 、ca 所在的直线的斜率分别为k ab , kbc ,kca ，若 a 的坐标在原点，求k abkbckca 的值；（ 2）请你给出一个以p( 2,1) 为顶点、其余各顶点均为抛物线f 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由。说明：第（ 2）小题将根据结论的一般性程度给与不同的评分。（2010 文）22（本题满分 16 分）本题共有3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分8 分若实数 x 、 y 、 m 满足 xm y m ，则称 x 比 y 接

8、近 m.（ 1）若 x21比 3 接近 0，求 x 的取值范围；（ 2）对任意两个不相等的正数a 、 b ，证明： a2 bab2 比 a3b3 接近 2abab ；（ 3）已知函数f ( x) 的定义域 dx xk , kz , xr 任取 xd ， f ( x) 等于 1sin x 和 1 sin x 中接近 0 的那个值写出函数 f ( x) 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）（ 2010 理）22（本题满分 18 分）本题共有3 个小题，第 1 小题满分3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分10 分。若实数 x 、 y 、 m 满足 x

9、my m ，则称 x 比 y 远离 m（ 1）若 x21比 1 远离 0，求 x 的取值范围；（ 2）对任意两个不相等的正数a 、 b ，证明： a3b3比 a2 bab2远离 2abab ；（ 3）已知函数 f ( x) 的定义域 dk, kz , xr 任取 xd ， f ( x)等于 sin x 和 cos x中x x24远离 0 的那个值写出函数f (x) 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）（ 2010 文）23（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 8 分已知椭圆x2y21(a b 0) ， a(0, b)

10、、 b(0,b) 和 q (a,0) 为的三个顶点的方程为2b2auuur1uuuruuur（ 1）若点 m 满足 am2( aqab) ，求点 m 的坐标；.（ 2）设直线 l1 : yk1xp 交椭圆于 c 、 d 两点，交直线 l 2 : yk2 x 于点 e 若 k1k2b2a2 ，证明： e为 cd 的中点；3）设点p在椭圆内且不在x轴上，如何构作过pq中点f的直线l，使得l与椭圆12（的两个交点 p、 puuuruuuruuur满足 pp1pp2pq ？令 a10 ， b 5 ，点 p 的坐标是（-8， -1 ），若椭圆上的点 p1 、 p2满足uuuruuuruuurpppppq

11、 ，求点 p1 、 p2 的坐标12（ 2010 理）23（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分 9 分已知椭圆x2y21(ab0) ，点 p 的坐标为（a,b ）的方程为b2a2（ 1）若直角坐标平面上的点m 、 a(0,uuur1 uuruurb), b(a,0) 满足 pm(papb) ，求点 m 的坐标；2（ 2）设直线 11交椭圆于c、d两点，交直线l22x于点e若 kk2b2，l : y k x p: y k1a2证明： e 为 cd 的中点；（ 3）对于椭圆上的点 q (a cos ,b sin) (0) ，如果椭圆

12、上存在不同的两个交点p1 、 p2 满足uuuruuuruuurpp1pp2pq ，写出求作点p1 、 p2 的步骤，并求出使p1 、 p2 存在的的取值范围（ 2010 春）23、（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分。已知首项为 x1 的数列 xn 满足 xn 1axn（ a 为常数）。xn 1（ 1）若对于任意的 x11，有 xn 2xn 对于任意的 n n * 都成立，求 a 的值；（ 2）当 a 1时，若 x10，数列 xn 是递增数列还是递减数列？请说明理由；.（ 3）当 a 确定后，数列 xn 由其首项 x1

13、 确定，当 a2 时，通过对数列 xn 的探究，写出“ xn 是有穷数列”的一个真命题（不必证明）。说明：对于第3 题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。（ 2009 理）22.（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分6 分。已知函数 yf ( x) 的反函数。定义：若对给定的实数a(a0) ，函数 yf ( xa) 与 yf 1( xa) 互为反函数， 则称 yf ( x) 满足“ a和性质”；若函数 yf (ax ) 与 yf 1 (ax) 互为反函数， 则称 yf ( x) 满足“ a积性

14、质”。（ 1）判断函数g(x)x21(x0) 是否满足“ 1 和性质”，并说明理由；（ 2）求所有满足“2 和性质”的一次函数；（ 3）设函数 yf (x)( x0) 对任何 a0 ，满足“ a积性质”。求 yf (x) 的表达式。（ 2009 文）23. （本题满分 18分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分.已知 an 是公差为 d 的等差数列，bn 是公比为 q 的等比数列（ 1）若 an3n1 ，是否存在 m, n n * ，有 amam 1ak ？请说明理由；（ 2）若 bnaqn （、q为常数，且aq 0）对任意存在k

15、，有mm 1k ，试求、满足的充要条件；amb bba q（ 3）若 an2n1,bn 3n 试确定所有的 p, 使数列bn 中存在某个连续p 项的和式数列中an 的一项， 请证明 .（ 2009 理）23.（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分8 分。.已知 an是公差 d 的等差数列，bn 是公比 q 的等比数列。（ 1）若 an3n1 ，是否存在 m、 kn * ，有 amam 1ak ? 明理由；（ 2）找出所有数列an和 bn ，使 一切 nn * , an 1bn ,并 明理由；an（ 3）若 a15, d4, b1

16、q 3, 确定所有的p ，使数列an 中存在某个 p 的和是数列bn 中的一 ， 明。（ 2008 文）21（本 分 18 分）本 共有3 个小 ，第 1 小 分 4 分，第 2 小 分 6分，第3 小 分8 分已知数列 an ：，2，（n是正整数），与数列b ：，1，a11 a2a3r an 3 an2nb1 1 b20 b3b40 ， bn4bn （ n 是正整数） tnb1a1 b2 a2b3a3l bn an （1）若 a1a2a3la1264，求 r 的 ；（2）求 ：当 n 是正整数 ，t12 n4n ；（3）已知 r0，且存在正整数m，使得在 t12m 1 ， t12m 2 ，

17、t12m 12 中有 4 项为 100求 r 的 ，并指出哪4项为 100（ 2008 理）21（本 分18 分）本 共有3 个小 ，第1 小 分3 分，第 2 小 分7 分，第 3 小 分8 分。an c,an3,已知 a1 首 的数列 an 足 : an 1a.n , an 3,d(1) 当 a11,c1,d3 ，求数列 an 的通 公式；（ 2）当 0a11,c1,d 3 ， 用 a1 表示数列 an 前 100 的和 s100 ；（ 3）当 0a11 , （ m 是正整数）， c1，正整数 d3m ，求 ：数列 a21，mmm.a3m 21 ， a6m 21 ， a9 m 21 成等比

18、数列当且 当 d 3m 。mmm（ 2007 文）20（本 分 18 分）本 共有 3 个小 ，第 1 小 分3 分，第2 小 分6 分，第 3 小 分9 分如果有 数列 a1，a2，a3，l ，am （ m 正整数） 足条件a1 am ， a2am1 ， ama1 ，即 aiam i 1（ i 1，2，l ，m ），我 称其 “ 称数列” 例如，数列 1，2，5，2，1 与数列 8，4，2，2，4 8 都是“ 称数列” （1） bn是 7 的“ 称数列” ，其中 b1，b2，b3，b4 是等差数列，且b12 ， b4 11依次写出bn的每一 ；（2） cn是 49 的“ 称数列” ，其中 c

19、25，c26，l ，c49 是首 1，公比 2的等比数列，求 cn各 的和 s ；（3） dn是 100 的“ 称数列” ，其中 d51，d52，l ，d100是首 2 ，公差 3 的等差数列求dn前 n 的和 sn ( n 1，2，l ，100 ) （ 2007 理）20（本 分 18 分）本 共有 3 个小 ，第 1 小 分3 分，第 2 小 分6 分，第 3 小 分 9 分如果有 数列 a1，a2，a3，l ，an （ n 正整数） 足条件a1 an ， a2an 1 ， ana1 ，即 aian i 1（ i 1，2，l ，n ），我 称其 “ 称数列” 例如，由 合数 成的数列cm0

20、，cm1，l ，cmm 就是“ 称数列” （ 1） bn是 数 7 的“ 称数列” ，其中 b1，b2，b3，b4 是等差数列，且 b12 ， b4 11依次写出bn 每一 ；（ 2） cn 是 数 2k1(正整数 k 1)的“ 称数列”，其中 ck ck 1c2 k1是首 50，公差 4的等差，l，数列 cn 各 的和 s2 k1 当 k 何 ， s2 k1 取得最大 ？并求出s2 k 1 的最大 ；（ 3） 于确定的正整数m1，写出所有 数不超 2m的“ 称数列” ，使得 ， 2，l ， m 1 依次是 数列中 1 2 22 的 ；当 m 1500 ，求其中一个“ 称数列”前2008 的和

21、 s2008 .（ 2007 文）21（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分 4 分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分9 分我们把由半椭圆x2y2( x 0) 与半椭圆y 2x21( x 0) 合成的曲线称作“果圆”，其中a 21b 2c 2b2a2b 2c 2 ， a0 ， b c 0 如图，设点0，f1，f2是相应椭圆的焦点，aa2 和bb是“果圆”与x，y轴的交点，m是线段f1 ，1 ，2a1 a2 的中点y（ 1）若 f0 f1 f2 是边长为1 的等边三角形，求该“果圆”的方程；b2.f 2y 2x2（ 2）设 p 是“果圆”的半椭圆b2c 2. .1 ( x

22、 0) 上任意一点o.mxa1f0a2求证：当pm 取得最小值时，p 在点 b1，b2 或 a1 处；f1（3）若 p 是“果圆”上任意一点，求pm取得最小值时点p 的横坐标b1（ 2007 理）21（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分8 分x2y2y 2x21 ( x 0)我们把由半椭圆a 2b21 ( x 0) 与半椭圆c 2合成的曲线称作“果圆”，其中b 2a2b 2c 2 ， a0 ， b c 0 如图，点 f0 ， f1 ， f2 是相应椭圆的焦点， a1 ， a2 和 b1 ， b2 分别是“果圆”与x ， y 轴的

23、交点（1）若 f0 f1f2 是边长为1 的等边三角形，求“果圆”的方程；yb2时，求 b 的取值范围；（2）当 a1 a2b1 b2.f 2a.（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数 k ，使斜率为 k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个a1o.f0a2 x椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由f1b1.（ 2007 春）17. ( 本 分 14 分 )求出一个数学 的正确 后，将其作 条件之一，提出与原来 有关的新 ，我 把它称 原来 的一个“逆向” .例如，原来 是“若正四棱 底面 4， 棱 3，求 正四棱 的体 ”.求出体 16后，

24、它的一3个“逆向” 可以是 “若正四棱 底面 4，体 16 ，求 棱 ”；也可以是 “若正四棱 的体 16 ，33求所有 面面 之和的最小 ”. 出 “在平面直角坐 系xoy 中，求点p( 2,1)到直 3x 4 y 0.的距离 ”的一个有意 的“逆向” ，并解答你所 出的“逆向” .（ 2007 春）21. ( 本 分18 分 ) 本 共有3 个小 ，第1 小 4分，第 2 小 6 分，第 3 小 8分 .我 在下面的表格内填写数 ：先将第1 行的所有空格填上 1；再把一个首 1，公比 q 的数列an 依次填入第一列的空格内； 然后按照 “任意一格的数是它上面一格的数与它左 一格的数之和”的

25、 填写其它空格 .第 1 列第 2 列第 3 列第 n 列第 1 行1111第 2 行q第 3 行q 2第 n 行qn 1(1) 第 2 行的数依次 b1 , b2 , l , bn ， 用 n, q 表示 b1 b2 lbn 的 ；(2) 第 3 列的数依次 c1, c2 , c3 ,l , cn ，求 ： 于任意非零 数q ， c1 c3 2 c2 ；(3) 在以下两个 中 一个 行研究(只能 一个 ，如果都 ，被 了第一 ）. 能否找到 q 的 ，使得 (2) 中的数列 c1 , c2 , c3 ,l , cn 的前 m 项 c1, c2 , l , cm ( m 3 )成 等比数列？若

26、能找到， m 的 有多少个？若不能找到， 明理由. 能否找到 q 的 ，使得填完表格后，除第1 列外， 有不同的两列数的前三 各自依次成等比数列？并 明理由 .（ 2006 文）22（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分已知函数 yxaa0 ，那么该函数在0, a 上是减函数，在a,上是增函数有如下性质：如果常数x（ 1）如果函数 yx2b ( x0) 在 0,4上是减函数，在4,上是增函数，求 b 的值x（ 2）设常数 c1,4，求函数 f (x)xc (1x2) 的最大值和最小值；x（ 3）当 n 是正整数时，研究函

27、数()nc(c0)的单调性，并说明理由gxxxn（ 2006 理）22 （本题满分 18 分，本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分9 分）已知函数 y x a 有如下性质：如果常数a 0，那么该函数在 ( 0， a 上是减函数，在 a ， )x上是增函数（1）如果函数y x 2b（ x 0）的值域为 6， ) ，求 b 的值；x（2）研究函数y x2 c（常数 c 0）在定义域内的单调性，并说明理由；x2（ 3）对函数 y x a 和 y x 2 a （常数 a 0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例xx21 ) n (1研究推广后的函数的

28、单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 f ( x) ( x2x) nxx 21（ n 是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）.（ 2006 春）22. (本 分18 分 )本 共有3 个小 ，第1 小 分4 分，第 2 小 分8 分 . 第 3 小 分6 分 .已知数列，其中是首 1，公差 1 的等差数列；是公差 的等差数列；是公差 的等差数列（） .（ 1）若，求；（ 2） 写出关于的关系式，并求的取 范 ；（ 3） 写已知数列，使得是公差 的等差数列， ，依次 推，把已知数列推广 无 数列 . 提出同（ 2） 似的 （2） 当作 特例），并 行研究，你能得到什么

29、 的 ？（ 2005）22、（本 分18 分）本 共有3 个小 ，第1 小 分4 分，第 2 小 分8 分，第 3 小 分6 分。f ( x)g( x), 当 xd f 且 xd g 定 域是 d f 、 dg 的函数 yf ( x) 、 y g ( x) ， 定：函数 h(x)f (x), 当 xd f 且 xd g 。g (x), 当 xd f 且 x d g（1）若函数 f ( x)1， g( x)x 2，写出函数 h( x) 的解析式；x 1（ 2）求 （ 1）中函数 h( x) 的 域；（3）若 g (x)f (x) ，其中是常数，且0,， 一个定 域 r 的函数 yf ( x) ，

30、及一个的 ，使得 h( x)cos4x ，并予以 明。（ 2005 春）22. ( 本 分 18 分 ) 本 共有3 个小 ，第1 小 分 5 分，第 2 小 分8 分.第 3 小 分5 分 .（ 1）求右焦点坐 是 ( 2, 0 ) ，且 点 (2 ,2 ) 的 的 准方程；（ 2）已知 c 的方程是 x 2y 2 1 ( ab0 ) . 斜率 k 的直 l ，a 2b2.交椭圆 c 于 a 、b 两点， ab 的中点为 m . 证明：当直线l 平行移动时，动点 m 在一条过原点的定直线上；（ 3）利用（ 2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中

31、标出椭圆的中心 .（ 2004）21 (本题满分16 分) 第 1 小题满分4 分 , 第 2 小题满分6 分, 第 3 小题满分6 分如图 ,p abc 是底面边长为 1 的正三棱锥 ,d、 e、f 分别为棱长 pa、pb 、pc 上的点 , 截面 def 底面 abc, 且棱台 def abc 与棱锥 p abc 的棱长和相等 . (棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)（ 1）证明： p abc 为正四面体；（ 2）若 pd= 1 pa, 求二面角d bca 的大小； (结果用反三角函数值表示)2（ 3）设棱台 def abc 的体积为 v, 是否存在体积为 v 且各棱长均相等的直平行六面

32、体 ,使得它与棱台 def abc 有相同的棱长和 ? 若存在 ,请具体构造出这样的一个直平行六面体 ,并给出证明；若不存在 ,请说明理由 .（ 2004 春）20. ( 本题满分 14 分 ) 本题共有2 个小题，第一小题满分6 分，第 2 小题满分8 分.如图，点 p 为斜三棱柱 abca1 b1 c1 的侧棱 bb1 上一点，pm bb1 交 aa1 于点 m ，pn bb1 交 cc1 于点 n .abcpm(1) 求证： cc1 mn ；(2) 在任意 def 中有余弦定理：de 2df 2ef 22dfef cosdfe .拓展到空间，类比余弦定理，a1n写出斜三棱柱的三个侧面面积

33、与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以b证1明.c1.（ 2004 春）22.( 本题满分18 分 ) 本题共有 3 个小题 , 第 1 小题满分 4 分 , 第 2 小题满分 6 分，第3 小题满分8 分.已知倾斜角为45 的直线 l 过点 a(1 ,2) 和点 b ， b 在第一象限， | ab | 3 2 .(1) 求点 b 的坐标；(2)若直线 l 与双曲线 c : x2y 21 (a 0) 相交于 e 、 f 两点，且线段 ef 的中点坐标为 (4 ,1) ，求 a 的值；a2(3)对于平面上任一点p ，当点 q 在线段 ab 上运动时，称 | pq | 的最小值为 p 与线

34、段 ab的距离 . 已知点 p在 x 轴上运动，写出点 p(t , 0) 到线段 ab的距离 h 关于 t 的函数关系式 .（ 2003 文）22（本题满分 18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分8 分，第 3 小题满分6 分.已知数列 an （ n 为正整数）是首项是a1，公比为 q 的等比数列 .（ 1）求和： a1c20a2c21a3c22, a1c30a2c31a3c32a4c33.（ 2）由（ 1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明 .（ ）设q， n是等比数列 an 的前n项和，求：0123lnn31ss1cns2 cns3cns4cn( 1) sn 1cn（ 2003 理）19（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分5 分，第 2 小题满分9 分.已知数列 an （n