《2812_圆的对称性》课件(二)_华东师大版.ppt

1、圆的轴对称性与垂径定理,M,O,A,C,B,N,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理：,如图， MN是圆O的直径， AB是一条弦， 且MNAB，利用圆的对称性，你能找出有哪些相等的量？,（1）AC=BC （2）AN=BN，AM=BM,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心O MNAB,AC=BC AM=BM AN=BN,垂径定理：,垂径定理三种语言：,定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.,老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,数形结合,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,文字语言,图形语言,几何语

2、言,练一练：试 金 石,讲解,如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,E,解题小结：,在解决有关弦的问题时，常作垂直于弦的半径，连接圆心和弦的一端点（即得半径），构成直角三角形。,半弦,半径,弦心距,半弦2+弦心距2=半径2,已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 试说明：ACBD。,证明：过O作OEAB，垂足为E，则 AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，ACBD,E,牛刀小试,例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员

3、应准备内径多大的管道？,解：过点O作OCAB,垂足为点C,交O与点D，连接OA。,C,D,如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？,直线MN过圆心O MNAB,AC=BC 弧AM=弧BM 弧AN=弧BN,垂径定理：,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心 AC=BC,MNAB,弧AM=弧BM 弧AN=弧BN,探索一：,结论：,二、垂径定理的推论,O,A,B,M,N,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。,推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,C,D,M,O,A,C,B,N

4、, MNAB AC=BC,直线MN过圆心O,弧AM=弧BM 弧AN=弧BN,探索二：,推论1:(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;,M,O,A,C,B,N, MNAB AC=BC 弧AM=弧BM,直线MN过圆心O 弧AN=弧BN,探索三：,推论1:(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。,推论1: (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;. (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。,你可以写出相应的命题吗?,垂径定理及其推论可概括成以下结

5、论,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,推论2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。,推论2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。,M,O,A,B,N,C,D,作直径MN垂直于弦AB,ABCD 直径MN也垂直于弦CD,于是 弧AM弧BM， 弧CM弧DM,弧AM弧CM 弧BM弧DM 即弧AC弧BD,C,D,A,B,E,例：平分已知弧AB,已知：弧AB,作法：, 连结AB.,作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点。,求作：弧AB的中点,C,D,A,B,E,F,G,变式一： 求弧AB的四等分点。,m,n,C,

6、D,A,B,M,T,E,F,G,H,N,P,错在哪里？,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。,作AB的垂直平分线CD。,作ATBT的垂直 平分线EFGH,C,A,B,E,变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？,m,n,D,C,A,B,E,m,n,O,你能破镜重圆吗？,A,B,A,C,m,n,O,作弦ABAC及它们的垂直平分线mn，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。,破镜重圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。,作图依据：,已知：AB、CD是O的两条平行弦， MN是AB的垂直平分线。 求证：MN垂直平分CD。,M,O,A,N,C,D,B,圆内平行弦的垂直平

7、分线是互相重合的。,已知：AB、CD是O的两条平行弦， MN是AB的垂直平分线。 求证：MN垂直平分CD。,M,O,A,B,N,C,D,分析：,MN是AB的垂直平分线 则有：,MN过圆心O是直径,由ABCD， MNAB 则有：,MNCD,由垂径定理，得,MN平分CD,所以：MN垂直平分CD,M,O,B,N,C,D,证明：, MN是AB的垂直平分线, MN过圆心是直径,MNCD, MN平分CD,A,ABCD，MNAB,MN垂直平分CD,M,O,A,B,N,C,D,证明：,由ABCD可得：,弧AC=弧BD,MN是AB的垂直平分线 则有：,MN过圆心O是直径,弧AM=弧BM,MN垂直平分CD, 弧A

8、M弧AC 弧BM弧BD 即 弧CM弧DM,挑战自我填一填,1、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）,例3 已知O的直径是50 cm，O的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。,C,D,20,15,25,25,24,7,讲解,C,D,F,EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm,练习一,如图，O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为_.最大值为_.,3,5,练习二,如图，矩形ABCD与圆O交于点A、B、E、F， DE=1cm，EF=3cm，则AB=_cm,5,练习三,如图，在圆O中，已知AC=BD， 试说明：（1）OC=OD （2）AE= BF,课堂小结： 本节课探索发现了垂径定理的推论1和推 论2,并且运用推论1等分弧。 要分清推论1的题设和结论,即已知什么条件,可推出什么结论. 这是正确理解应用推论1的关键; 例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦 的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想 在这里的运用.,回味引伸 垂径定理及其推论1的实质是把(1