函数微分习题二.ppt

1、2020/9/24,1,习题课,一、 内容小结,二、 典型例题,多元微分学的应用,第九章(2),三、 课外练习题,2020/9/24,2,1) 近似计算,2) 几何应用,几何应用,曲线切线(法平面),曲面切平面(法线),一、内容小结：,多元微分学的应用,2020/9/24,3,曲线：参数方程情形,切线：,法平面：,2020/9/24,4,一般方程情形,切线：,法平面：,2020/9/24,5,则曲线在该点的切线可以看作两曲面在该点切平面的交线：,一般方程,若,另：,2020/9/24,6,曲面：,该曲面上，则相应的切平面：,法线：,曲面方程： ，点 在,2020/9/24,7,3) 方向导数与

2、梯度,二元函数的方向导数,三元函数的方向导数,其中 或 为单位向量,2020/9/24,8,梯度,注：梯度方向为方向导数取最大值的方向,或者,2020/9/24,9,4) 极值问题,必要性：可导的极值点是驻点,充分性：,则,时， 极小值；,时， 极大值；,时不能确定；,时 非极值,(1) 无条件极值,2020/9/24,10,(2) 条件极值,方法：,最后对方程组的解进行讨论而得到所求极值,构造Lagrange函数,单条件极值 求函数 在条件,下的条件极值,解方程组,2020/9/24,11,方法：,解方程组,构造Lagrange函数,两条件极值,下的条件极值,最后对方程组的解进行讨论而得到所

3、求极值,求函数 在条件,2020/9/24,12,重点：关于多元函数微分法的应用：,1. 在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键: 抓住切向量),求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),2. 极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法),求解最值问题,3. 在微分方程变形等中的应用,最小二乘法*,2020/9/24,13,例1 设 是曲面 在点,的方向导数,令,处的外法向量，求 在点 处沿,取外法线方向，故,又,二、例题选讲,解,则,P131 题16,2020/9/24,14,所以,，故,2020/9/24,15,解,由方向导数的计算公式

4、知,P131 题15,2020/9/24,16,故,2020/9/24,17,因为梯度方向即为最大方向导数方向，,例3 函数 在,点 处沿哪个方向的方向导数最大？并求此 最大值,同样，有,解,而,2020/9/24,18,故最大方向导数的方向为,最大方向导数为,2020/9/24,19,解,例4,2020/9/24,20,2020/9/24,21,2020/9/24,22,例5,解,2020/9/24,23,2020/9/24,24,2020/9/24,25,例6,解,令,又,2020/9/24,26,(1),(2),2020/9/24,27,例7,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解,

5、设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,到平面,P131 题17,2020/9/24,28,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在 ,故,2020/9/24,29,例8 在第一卦限作椭球面,的切平面,I). 使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.,解 设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,2020/9/24,30,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题 .,设拉格朗日函数,切平面在三坐标轴上的截距为,2020/9/24,31,令,由实际意义可知,为所求切点 .,唯一驻点,2020/9/24,32,II). 使其与三

6、坐标面所围的四面体体积最小, 并求切点.,解,P131 题18,2020/9/24,33,用拉格朗日乘数法可求出,V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,取拉格朗日函数,思路一：,2020/9/24,34,思路二：,2020/9/24,35,可得,即,2020/9/24,36,例9,解,令,2020/9/24,37,2020/9/24,38,于是，,注1,注2,2020/9/24,39,上求一点 , 使该点处的法线垂直于,课内练习题：,在曲面,并写出该法线方程 .,提示: 设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,P131 题14,2020/9/24,40,2020/9/24,41,的切平面方程,1求曲面 平行于,2