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第五章特殊平行四边形难题综合训练

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第五章 特殊平行四边形难题综合训练 1、正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 2、如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形的边长为 . 第1题 第2题 第3题 第4题 3、如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是 平方单位． 4、如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60.顺次连结菱形 ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形 A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…….则四边形A2B2C2D2的周长是 ；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是 . 5、如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 . 6、如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　） A．2 B．3 C． D． 第5题 第6题 第7题 第8题 7、如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（　　） A、（） B、（） C、（） D、（） 8、如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=9/10．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9、如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90，BO、EF交于点P．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=0A；（4）AE2+CF2=20P•OB．正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10、如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 . 11、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N． (1)如图11－1，当点M在AB边上时，连接BN．求证：； (2)如图11－2，若∠ABC = 90，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形． C M B N A D （图11-2） C B M A N D （图11-1） 12、如图所示，正方形的边在正方形的边上，连接． (1）求证：． (2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由． E F G D A B C 13、请阅读，完成证明和填空． A A A B B B C C C D D O O O M M M N N N E 图13-1 图13-2 图13-3 … 数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： (1）如图13-1，正三角形中，在边上分别取点，使，连接，发现，且．请证明：． (2）如图13-2，正方形中，在边上分别取点，使，连接，那么 ，且 度． (3）如图13-3，正五边形中，在边上分别取点，使，连接，那么 ，且 度． (4）在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论． 请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ． 14、是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接． (1）如图（a）所示，当点在线段上时． ①求证：；②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由； (2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ (3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由． A G C D B F E 图（a） A D C B F E G 图（b） 15、如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． (1）探究：线段与的数量关系并加以证明； (2）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由； (3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？A F N D C B M E O 16、如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点A D B E O C F x y y （G） 与点重合． (1）求的面积； (2）求矩形的边与的长； 17、在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点． (1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论； (2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由 A D B E C F A D B E C F 18、在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点． (1）求的周长； (2）点为线段上的点，连接并延长交于点．求证：． A Q D E B P C O 19、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）． (1）若m = n时，如图，求证：EF = AE； (2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标． x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F 20、如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰 能拼成一个矩形（非正方形）． (1）画出拼成的矩形的简图； (2）求的值． 21、如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形；对角线相交于点；再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推． (1）求矩形的面积； (2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积． A1 A2 B2 C2 C1 B1 O1 D A B C O 22、如图（22），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）． (1）求两点的坐标； (2）用含的代数式表示的面积； (3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为， ①当时，试探究与之间的函数关系式； O M A P N y l m x B O M A P N y l m x B E P F 图22 ②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？ 23、如图15，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论． 24、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A D F C G E B 图1 A D F C G E B 图2 A D F C G E B 图3 25、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．求证：． D C B A E F G 参考答案 1、D 2、 3、5或9 4、20 5、 6、C 7、A 8、B 9、C 10、 11、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB = AD，∠1 =∠2又∵AN = AN∴△ABN ≌ △ADN (2）解：∵∠ABC=90，∴菱形ABCD是正方形此时，∠CAD=45． 下面分三种情形： Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45．此时，点M恰好与点B重合，得x=6； Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45．此时，点M恰好与点C重合，得x=12； C M B N A D 1 2 3 4 Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，从而CM=CN，易求AC=6，∴CM=CN=AC－AN=6－6， 故x = 12－CM=12－（6－6）=18－6 综上所述：当x = 6或12 或18－6时，△ADN是等腰三角形 12、（1）因为ABCD是正方形，所以BC=CD。又因为ECGF是正方形，所以EC=CG。 所以三角形BCE和三角形DCG全等（HL）。所以BE=DG（全等三角形的对应边相等） （2）存在。以点C为旋转中心逆时针旋转90度 13、（1）证明：∵是正三角形，∴， 在和中，∴． ∴．又∵，∴，∴． 注：学生可以有其它正确的等价证明． (2）在正方形中，． (3）在正五边形中，． (4）以上所求的角恰好等于正边形的内角 14、（1）①证明：∵和都是等边三角形， ∴． 又∵，，∴， ∴． ②法一：由①得，∴．又∵， ∴，∴．又∵，∴四边形是平行四边形． 法二：证出，得．由①得． 得．∴四边形是平行四边形． (2）①②都成立． (3）当（或或或或）时，四边形是菱形． 理由：法一：由①得，∴分又∵，∴． 由②得四边形是平行四边形，∴四边形是菱形． 法二：由①得，∴．又∵四边形是菱形， ∴∴． 法三：∵四边形是平行四边形，∴， ∴∴，∴是等边三角形． 又∵，四边形是菱形，∴，∴∴，∵， ∴． 15、（1）． 其证明如下：∵是的平分线，．∵，∴． ∴．∴．同理可证．∴． (2）四边形不可能是菱形，若为菱形，则，而由（1）可知，在平面内过同一点不可能有两条直线同垂直于一条直线． (3）当点运动到中点时，，，则四边形为，要使为正方形，必须使． ∵，∴，∴是以为直角的直角三角形， ∴当点为中点且是以为直角的直角三角形时，四边形是正方形． 16、（1）解：由得点坐标为 由得点坐标为∴ 由解得∴点的坐标为 ∴ (2）解：∵点在上且∴点坐标为 又∵点在上且∴点坐标为 ∴ 17、（1） 证明：（证法一） 由旋转可知，∴ ∴又∴即 (证法二） 由旋转可知，而∴ ∴∴即 (2）四边形是菱形. 证明：同理 ∴四边形是平行四边形. 又∴四边形是菱形. 18、（1）因为四边形为菱形，所以，故四边形为平行四边形， 则有，所以， ，又垂直于， 所以在中有，所以， 故三角形的周长为 (2）因为四边形为菱形， 所以，则=又，所以全等于 故有 19、（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形． 如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE． ∴ ∠EGO = 45，从而 ∠AGE = 135． 由BF是外角平分线，得 ∠EBF = 135，∴ ∠AGE =∠EBF． ∵ ∠AEF = 90，∴ ∠FEB +∠AEO = 90． 在Rt△AEO中，∵ ∠EAO +∠AEO = 90， ∴ ∠EAO =∠FEB，∴ △AGE≌△EBF，EF = AE． (2）假设存在点E，使EF = AE．设E（a，0）．作FH⊥x轴于H，如图． 由（1）知∠EAO =∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF． ∴ FH = OE，EH = OA． ∴ 点F的纵坐标为a，即 FH = a． 由BF是外角平分线，知∠FBH = 45，∴ BH = FH = a． 又由C（m，n）有OB = m，∴ BE = OB－OE = m－a， x O E B A y C F G ∴ EH = m－a + a = m． 又EH = OA = n， ∴ m = n，这与已知m≠n相矛盾． 因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立． (3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OH－OE = h + m－a． 由 ∠AEF = 90，∠EAO =∠FEH，得 △AOE∽△EHF， ∴ EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a， 且，即， 整理得 nh = ah + am－a2，∴ ． H x O E B A y C F 把h =（t + 1）a 代入得 ， 即 m－a =（t + 1）（n－a）． 而 m = tn，因此 tn－a =（t + 1）（n－a）． 化简得 ta = n，解得． ∵ t＞1， ∴ ＜n＜m，故E在OB边上． ∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）． 20、（1） (2）解法一：由拼图前后的面积相等得： 因为y≠0，整理得：解得：（负值不合题意，舍去） 解法二：由拼成的矩形可知： 以下同解法一． 21、（1）在中， ， ． (2）矩形，对角线相交于点， ，四边形是平行四边形，， ，又，， ， 同理，， 第6个平行四边形的面积为． 22、(1）当时，；当时，．； (2），； (3）①当时，易知点在的外面，则点的坐标为, 点的坐标满足即， 同理，则， 所以 ； ②当时，， 解得两个都不合题意，舍去； 当时，，解得， 综上得，当或时，为的面积的． 23、如图，连结AC、BD． ∵ PQ为△ABC的中位线，∴ PQ AC． 同理 MNAC．∴ MNPQ， ∴ 四边形PQMN为平行四边形．在△AEC和△DEB中， AE＝DE，EC＝EB，∠AED＝60＝∠CEB，即 ∠AEC＝∠DEB．∴ △AEC≌△DEB．∴ AC＝BD． ∴ PQ＝AC＝BD＝PN，∴ □PQMN为菱形． 24、（1）正确．A D F C G E B M 证明：在上取一点，使，连接． ．，． 是外角平分线， ，．． ，，． （ASA）．A D F C G E B N ． (2）正确． 证明：在的延长线上取一点． 使，连接．． ．四边形是正方形，． ．．（ASA）．． 25、是正方形， ． ， ． ． 又， ． ， ． 在与中，， ． ． ， ．

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