数学分析-定积分应用

1、2020/9/30,1,第十章 定积分应用,2020/9/30,2,定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介绍几何、物理上的应用问题，例如：平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，水压力，抽水做功，引力等。,第一节 定积分的元素法,一、问题的提出,如何应用定积分解决实际问题_微元法：,2020/9/30,3,回顾 曲边梯形面积 A 的计算过程：,把区间a, b分成n个小区间, 有,总量A 对于a, b具有区间可加性,计算Ai的近似值,得A的近似值,(1) 分割.,(2) 近似.,(3) 求和.,(4) 求极限.,n个部分量Ai 的和.,a,b,0,x

2、,y,y = f (x),即A可以分割成,2020/9/30,4,把上述步骤略去下标，改写为：,(1) 分割.,(2) 近似.,(3) 求和.,(4) 求极限.,计算A的近似值,x,x+dx,这种方法通常称为微元法或元素法,面积微元,用A表示x, x+dx上的小曲边梯形的面积，,取微元 任取一个具有代表性的小区间 x, x+dx (区间微元)，,2020/9/30,5,若总量U非均匀分布在变量 x的某个区间a, b上; 总量U有可加性.,(1) 求微元 局部近似得 dU = f (x)dx,(2) 求全量 微元积分得,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等

3、,可用微元法的条件,步骤,2020/9/30,6,(1) 整体问题转化为局部问题；,(2) 在局部范围内，以常代变，以直代曲；,微元法的实质,(3) 取极限 (定积分) 由近似值变为精确值。,2020/9/30,7,例1.,写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式，,任一点的线密度是长度的函数。,解:建立坐标如图,o,x,l,x,x+dx,设任意点x的密度为,step1.,step2.,下面用微元法讨论定积分在几何，物理中的 一些应用。,微元法 (Element Method),2020/9/30,8,第二节 定积分在几何上的应用,一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长,2020

4、/9/30,9,平面图形的面积,一、直角坐标系情形 二、极坐标系情形 三、小结 思考题,2020/9/30,10,曲边梯形的面积,由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:,一、直角坐标系情形,2020/9/30,11,解,3) 面积元素,2) 选x为积分变量,解方程组,即这两个抛物线的交点为：,x x+dx,1) 求出两抛物线的交点.,2020/9/30,12,讨论：由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及上下两条直线yd与yc所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？,提示：,面积为,面积元素,dA=j右(y)j左(y)dy,选积分变量,2020/9/30,13,2020/9/30,14

5、,解,两曲线的交点,选 为积分变量,2020/9/30,15,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,2020/9/30,16,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,2020/9/30,17,( ), +d,.,dA,.,二、极坐标系情形,曲边扇形是由曲线r()及射线, 所围成的图形.,图形是曲边扇(梯)形,如何化不规则 为规则,以圆扇形面积近似小曲边扇形的面积，得到面积元素：,2020/9/30,18,( ), +d,.,dA,.,面积元素,以圆扇形面积近似小 曲边扇形面积，得到 面积元素：,曲边扇形的面积,2020/9/30,19,例4: 计算阿基米德螺线,r

6、 = a (a 0),上相应于 从0 到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.,解: 取极角为积分变量, 变化区间为0, 2 , 取小区间 , + d ，则,面积元素,2020/9/30,20,2020/9/30,21,解,利用对称性知,心形线也称圆外旋轮线,2a,2020/9/30,22,2020/9/30,23,2020/9/30,24,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,三、小结,2020/9/30,25,立体体积,一、旋转体体积 二、已知截面面积的立体体积 三、小结 思考题,2020/9/30,26,旋转体就是由

7、一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,一、旋转体的体积,2020/9/30,27,如何计算黄瓜的体积？,旋转体的体积为,2020/9/30,28,解,直线 方程为,2020/9/30,29,直线 方程为,2020/9/30,30,解,星形线也称：圆内旋轮线,2020/9/30,31,a, a,0 2,或,.,P,.,一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。,.,星形线,(圆内旋轮线),2020/9/30,32,2020/9/30,33,2020/9/30,34,2020/9/30,35,例4 求椭圆 ，分别绕 X轴、Y轴、直

8、线 y=-c 旋转一周所得旋转体的体积。,2020/9/30,36,解,2020/9/30,37,2020/9/30,38,2020/9/30,39,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,二、已知截面面积的立体的体积,2020/9/30,40,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为 A(x)的立体,.,a,V,平行截面面积为已知的立体的体积,b,2020/9/30,41,o,y,R,x,x,y,R,R,.,.,.,.,y tan,问题： 还有别的方法吗？,(x, y),截面积,A(x),.,例5：半径为R的正

9、圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,.,2020/9/30,42,o,y,R,x,R,R,方法2,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,2020/9/30,43,o,y,R,x,R,R,方法2,A,B,C,D,BC,DC,.,.,.,.,截面积,S(y),(x, y),= 2x,= ytan,.,S(y),.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,2020/9/30,44,R,x,o,x,A(x),A(x),V =,.,.,.,.,R,y,.,例6：求以半径为R的圆

10、为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。,y,2020/9/30,45,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,三、小结,2020/9/30,46,平面曲线的弧长,一、平面曲线弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形 四、极坐标情形 五、小结,2020/9/30,47,一、平面曲线弧长的概念,2020/9/30,48,弧长元素,弧长,二、直角坐标情形,2020/9/30,49,解,所求弧长为,2020/9/30,50,解,所求弧长为,2020/9/30,51,曲线弧为,弧长,三、参数方程情形,2020/9/30

11、,52,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,2020/9/30,53,曲线弧为,弧长,四、极坐标情形,2020/9/30,54,解,分部积分法,2020/9/30,55,解,2020/9/30,56,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,五、求弧长的公式小结：,2020/9/30,57,第三节 定积分的物理应用,一、变力、变距离作功 二、水压力 三、引力 四、小结,2020/9/30,58,用元素法,2020/9/30,59,建立坐标轴如上图所示,提示：根据物理学, 在电量为+q的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为：,2020/9/

12、30,60,问题： 物体在变力F(x)的作用下，从x轴上a点移动到 b点， 求变力所做的功。,用元素法,1）在a,b上考虑小区间x, x+x，在此小区间上 WdW=F(x)dx,2）将dW从a到b求定积分，就得到所求的功,F(x),F(x),2020/9/30,61,由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p与体积V的乘积是常数k , 即,2020/9/30,62,解,建立坐标系如图,这一薄层水的重力为,功元素为,(kNm),kJ,把这一薄层水抽出水池所作的功等于克服这一薄层重量所作的功,2020/9/30,63,例4 修建一座大桥墩时，先要下围囹，并且抽尽其中的水以便施工，已知围囹的

13、直径为20m，水深27m，围囹高出水面3m,求抽尽水所作的功。,x,x,dx,27,3,20,0,分析（如下图）建立坐标系：,2020/9/30,64,因这一薄层水抽出围囹所作的功近似于克服这一薄层重量所作的功，所以功元素为：,解,建立坐标系如图,这一薄层水的重力为,于是在3,30上，抽尽水所作的功为：,x,x,dx,27,3,20,0,O在水面,2020/9/30,65,解：建立坐标系如图,需计算薄片的宽度,2020/9/30,66,问题：水的压力是如何产生的？,水有重量，所以水也会对与其接触的物体产生压力，,水的压力来自水中的四面八方。,水压的强度和水的深度有关，愈深則水的压强愈大。,问题

14、：水库的堤坝为什么上边窄，下边宽？,2020/9/30,67,如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为：,P pA,如果这个平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同，不同点处压强 p不相等，所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算,2020/9/30,68,y,2020/9/30,69,y,2020/9/30,70,例6,解,如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为,2020/9/30,71,其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点连线方向,如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力的方向也是变化的，就不

15、能用上述公式来计算更重要的是向量不能求和相加！,2020/9/30,72,这是引力dF的方向不随小区间x, x+dx的改变而变化的情形。,2020/9/30,73,由对称性知,引力在铅直方向分力,这是引力dF的方向随小区间x, x+dx的改变而变化的情形, 应将引力dF分解为dFx和dFy后再分别用定积分计算,2020/9/30,74,2020/9/30,75,尤其是如何在具体问题中取“微元”微功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容真正地把握公式是非常必要的，相反如果仅满足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解，那么遇到一些稍有灵活性的问题，便可能束手无策，不知如何下手。,关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记各个公式的结果外，还须了解其推导过程。,2020/9/30,76,解,设木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例：用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？,设 次击入的总深度为 厘米,次锤击所作的总功为,2020/9/30,77,依题意知，每次锤击所作的功相等,次击入的总深度为,第 次击入的深度为,2020/9/30,78,利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题,（注意熟悉