2017_18学年高中数学第一讲1.3.2相似三角形的性质课件.pptx

1、1.3.2 相似三角形的性质,1.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长的比等于相似比. (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 名师点拨相似三角形性质的运用: (1)证明线段成比例、角相等、线段相等、线段的垂直、平分等; (2)计算边长、周长、角度、面积、图形的面积比等.,【做一做1】 已知ABCABC,AD和AD分别是ABC和ABC的角平分线,且ADAD=53.下面给出四个结论:BCBC=53;ABC的周长ABC的周长=53;ABC与ABC的对应高之比为53;ABC与ABC的对应中线之比为53.其中正确的结论

2、有() A.1个B.2个C.3个D.4个 解析:因为AD,AD是相似三角形ABC和ABC对应的角平分线,且ADAD=53,所以ABC和ABC的相似比为53.故对应边BC与BC的比为53,结论正确;由相似三角形的性质定理知也正确,故选D. 答案:D,2.相似三角形的外接圆的性质 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方.,答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)两个相似三角形的面积之比等于其周长之比的平方. () (2)相似三角形对应角的外角平分线与对边相交所得线段的比等于相似比. () (3)相似三角形外接圆

3、的周长之比等于相似比的平方. () (4)相似三角形的内切圆的直径比、周长比等于相似比,内切圆的面积比等于相似比的平方. () 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,利用相似三角形的性质解决计算问题,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,解析:(1)四边形ABCD是平行四边形,ABCD, DCF=FAE,CDF=FEA,答案:(1)3(2)21,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用相似三角形的性质解决计算问题的基本方法 1.若相似比未知,应先求相似比. 2.若已知一个三角形的周长或面积,可以利用周长比等于相似比、面积比等于相似比的

4、平方,计算得出另一个三角形的周长或面积. 3.若两个三角形的周长或面积都未知,则可以设出其中之一,并用这个未知数表示另外一个,利用相似三角形的性质定理建立方程,求解可得.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练1两个相似三角形的一对对应边长分别是24 cm和12 cm. (1)若它们的周长和是120 cm,则这两个三角形的周长分别为 和; (2)若它们的面积差是420 cm2,则这两个三角形的面积分别为 和. 解析:由于两个三角形相似,且一对对应边长分别是24 cm和12 cm,因此其相似比为2. (1)由于周长比等于相似比,若设其中一个三角形周长为x cm,则另一个三角形周长为

5、2x cm,于是x+2x=120,解得x=40,故其中一个三角形的周长为80 cm,另一个三角形的周长为40 cm. (2)由于面积比等于相似比的平方,若设其中一个三角形面积为x cm2,则另一个三角形面积为4x cm2,于是4x-x=420,解得x=140,故其中一个三角形的面积为140 cm2,另一个三角形的面积为560 cm2. 答案:(1)80 cm40 cm(2)560 cm2140 cm2,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,利用相似三角形的性质解决证明问题 【例2】如图,AD是ABC的角平分线,BHAD于点H,CKAD于点K.求证:ABDK=ACDH. 分析:只需证明BD

6、H和CDK相似,ABH和ACK相似即可. 证明:BHAD,CKAD, AHB=AKC=90. 又AD平分BAC,BAD=CAD,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟利用相似三角形的性质进行证明的方法 要证明线段相等、角相等或比例式、等积式成立等结论,需化归到相似三角形中加以证明.若不存在相似三角形,则可添加辅助线(如平行线等),构造元素所在的三角形相似,利用相似三角形的性质得到结论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练2如图,在梯形ABCD中,ADBC,AC与BD相交于点E, BFCD交CA的延长线于点F.求证:EFAD=ECBC.,探究一,探究二,探究三,思

7、维辨析,当堂检测,利用相似三角形的性质解决综合问题 【例3】如图,在ABCD中,E是CD延长线上一点,BE与AD交于点F,DE= CD. (1)求证:ABFCEB; (2)若DEF的面积为2,求ABCD的面积. 分析:(1)利用相似三角形的判定定理证明;(2)要求平行四边形的面积,可以利用相似三角形的性质定理分别求出ABF与四边形BCDF的面积.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, A=C,ABCD,ABF=CEB. ABFCEB. (2)解:四边形ABCD是平行四边形, ADBC,ABCD. DEFCEB,DEFABF.,SDEF=2, SC

8、EB=18,SABF=8. S四边形BCDF=SCEB-SDEF=16. SABCD=S四边形BCDF+SABF=16+8=24.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,反思感悟解决相似三角形的综合问题应注意的问题 1.结合相似三角形的判定定理及性质定理,寻求三角形中的数量关系. 2.注意辅助线的添加和定理的选择.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练3如图,在ABC中,BCAC,点D在BC上,且DC=AC,ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF. (1)求证:EFBC; (2)若四边形BDFE的面积为6,求ABD的面积. (1)证明:CF平分ACB,

9、DC=AC, CF是ACD的边AD上的中线. 点F是AD的中点. 点E是AB的中点,EFBD,即EFBC. (2)解:由(1)知EFBD,AEFABD,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,对相似三角形的性质理解不透而致误 【典例】 如图,在梯形ABCD中,ADBC,AD=1,BC=3,AOD, AOB,BOC的面积分别为S1,S2,S3,则S1S2,S1S3分别等于多少?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,纠错心得本题错误在于盲目套用相似三角形的性质,事实上,AOB和COD不相似,不能利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来计算S1S2.相似三角形周长的比、对应高的比、对应中

10、线的比、对应角平分线的比都等于相似比,面积比等于相似比的平方,这些结论成立的前提是两个三角形相似,若两个三角形不相似,则上述结论不成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,变式训练如图,D,E,F,G,H,I是ABC三边的三等分点,ABC的周长是l,则六边形DEFGHI的周长是.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,1.在ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,且DEBC.若AEEC=12,且AD=4 cm,则DB等于 () A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm 解析:因为DEBC,所以ADEABC,所以AEEC=ADDB,所以DB=24=8(cm). 答案:

11、D 2.已知D,E,F分别是ABC的三边中点.若DEF的面积为4,ABC的周长为9,则DEF的周长与ABC的面积分别是() A.4.5,16B.9,4C.4.5,8D.2.25,16 解析:由题意,得DEF与ABC相似,且相似比为12,因此DEF与ABC的周长之比为12,面积之比为14,从而DEF的周长为4.5,ABC的面积为16. 答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,3.若ABCABC,它们的周长相差20 cm,且它们对应边上的中线比为21,则ABC与ABC的周长分别为. 解析:因为ABCABC,所以它们的周长比等于对应边上的中线比21.设ABC的周长为x cm,则ABC的周长为2x cm,于是有2x-x=20,解得x=20,故ABC的周长为40 cm,ABC的周长为20 cm. 答案:40 cm,20 cm,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,4.如图,已知C=90,A=30,点E是AB的中点,DEAB于点E,则ADE与ABC的相似比是.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当堂检测,5.如图,在四边形ABCD中,AC为AB,AD的比例中项,且AC平分DAB. 求证:(1)A