2017_18学年高中数学第一章1.2.1三角函数的定义课件.pptx

1、1.2任意角的三角函数,1.2.1三角函数的定义,1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解任意角的正割、余割、余切的定义,会根据定义求角的正弦、余弦、正切值. 2.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域,并知道三角函数在各象限内的符号. 3.使学生认识到现在三角函数的定义是初中所学锐角三角函数的推广,加深对从特殊到一般的认识规律的理解.,1,2,1.三角函数的定义和定义域 在平面直角坐标系中,设角的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点O的距离是,1,2,归纳总结 由定义可知,这六个比值的大小与在终边上所取的点P的位置无关,只与角的大小有关,即它们都是以角为自变量,以比值为函数值的

2、函数.定义中的是任意角,但对于一个确定的角,只要各个三角函数有意义,其值就是唯一的.另外,还应注意到此处定义三角函数的方法是坐标法,这与初中所学的在直角三角形中的定义相统一.,1,2,【做一做1-1】 若角的终边过点P(a,8),且 则a的值是() A.6B.-6 C.10D.-10 解析:由任意角的三角函数的定义可知 ,解得a=6.显然a=6时不成立,所以a=-6. 答案:B 【做一做1-2】 若角终边上有一点P(-2,0),则下列函数值不存在的是() A.sin B.cos C.tan D.cot 答案:D,1,2,2.三角函数在各象限的符号 (1)用图形表示,如图所示.,(2)用表格表示

3、,如下表.,1,2,归纳总结 三角函数值在各象限的符号可简记为:“一全正,二正弦,三两切,四余弦,正、余割同余、正弦”,即第一象限角的正弦、余弦、正切、余切值都为正;第二象限角的正弦值为正;第三象限角的正切、余切值为正;第四象限角的余弦值为正;角的正割、余割的符号与角的余弦、正弦的符号相同.,1,2,【做一做2-1】 若sin cos 0,则角的终边在() A.第一、二象限B.第一、三象限 C.第一、四象限D.第二、四象限 解析:由sin cos 0,可知若sin 0,则cos 0,则角的终边位于第一象限;若sin 0,则cos 0,则角的终边位于第三象限. 综上可知,角的终边位于第一或第三象

4、限. 答案:B 【做一做2-2】 已知点P(tan ,cos )在第三象限,则角的终边在第象限. 解析:因为点P(tan ,cos )在第三象限, 所以tan 0,cos 0. 所以角的终边在第二象限. 答案:二,锐角三角函数推广为任意角的三角函数的过程 剖析角的概念推广后,我们利用直角坐标系把锐角三角函数推广到任意角的三角函数. 如图所示,射线OP在第一象限,P(x,y)是该射线上的任意一点,MPOx于点M,记MOP=,则OM=x,MP=y,下面我们来研究任意角的三角函数. 如图所示,已知任意角,以角的顶点O为坐标原点,以角的始边的方向作为x轴的正方向,建立直角坐标系xOy. 在角的终边上取

5、点A,使OA=1,设点A的坐标为(l,m),再任取一点P(x,y),设OP=r(r0),由相似三角形的对应边成比例,得 因为点A,P在同一象限内,所以它们的坐标符号相同. 由图可以看出,当为锐角时,上述所定义的三角函数与在直角三角形中定义的三角函数是一致的,这样就把锐角三角函数推广为任意角的三角函数.,名师点拨1.角的正弦、余弦、正切可分别看成一个角的集合到一个比值的集合的映射.它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,称为三角函数. 2.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P(x,y)在终边上的位置无关,而由角的终边的位置决定.对于确定的角,其终边的位置也唯一确定.因此,三角函

6、数是角的函数.,题型一,题型二,题型三,分析充分利用正弦函数、余弦函数的定义,并注意分类讨论.,题型一,题型二,题型三,反思当所给角的终边上的点含有字母时,一定要注意分类讨论,并结合函数值的正负进行取舍.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 已知角的终边经过点P(-4a,3a)(a0),求sin ,cos ,tan 的值.,题型一,题型二,题型三,【例2】 判断下列三角函数值的符号: (2)sin 3cos 4tan 5cot 6. 分析确定一个角的某一三角函数值的符号,关键要看角的终边在哪一个象限;确定一个式子的符号,则需要观察构成该式的结构特点及每部分的符号.,题型一,题型二,题型三,

7、解:(1)是第二象限的角, sin 30,cos 40,tan 50,cot 60. sin 3cos 4tan 5cot 60. 反思这里的sin 3就是“sin 3(rad)”,将弧度省略了.在第(1)小题中解题的关键是分别判断出sin ,cos 的符号.,题型一,题型二,题型三,答案:B,题型一,题型二,题型三,【例3】 求下列函数的定义域: 分析根据三角函数的定义,并结合求函数定义域的要领列不等式或不等式组进行求解即可.,题型一,题型二,题型三,解:(1)sin xtan x0, sin x与tan x同号或sin xtan x=0. x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角. 函数的定

8、义域为 由sin x0,得2kx2k+(kZ). 由9-x20,得-3x3. 由,得0x3. 故函数的定义域为x|0x3.,题型一,题型二,题型三,反思求解含有三角函数式的函数的定义域问题,和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的,即通过列不等式或不等式组,然后解不等式或不等式组,最后写出函数的定义域.凡涉及三角函数的定义域问题,在求解时,必须考虑到三角函数本身一定要有意义.在求一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以通过取特殊值或画数轴的方法来解决.,题型一,题型二,题型三,解析:要使函数有意义,应使-sin x0,即sin x0, 因此x应该是第三、四象限的角或终边落在y轴负半轴上的角, 即2k-x2k(kZ). 故函数定义域是x|2k-x2k,kZ. 答案:x|2k-x2k,kZ,1,2,3,4,5,6,答案:C,1,2,3,4,5,6,答案:D,1,2,3,4,5,6,3.下列函数中,与函数y=tan 有相同定义域的个数为 () A.1B.2C.3D.4 解析:要使y=tan = 有意义,只需角的终边上异于原点的点P(x,y)的横坐标x0,显然函数的定义域与之相同. 答案:B,1,2,3,4,5,6,4.点(cos 2 017,sin 2 017)位于第象限. 解析:因为2 017=5360+217, 所以2