第四章习题.ppt

1、第四章习题,2.,某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次.每次随机地取10件产品进行检验,如发现其中的次品数多于1,就去调整设备.以X表示一天中调整设备的次数,试求E(X).(设诸产品是否为次品是相互独立的.),解 设Zi表示第i次检验时所发现的次品数(i=1,2,3,4),则Zib(10, 0.1),PZi=k= 0.1k0.910-k ,k=0,1,2,10.,设随机变量Xi=,1, 第i次检验时要调整设备(Zi1),0, 第i次检验时不调整设备(Zi1),(i=1,2,3,4),则 X=X1+ X2+ X3+ X4 ,由于,PXi=0=PZi1=PZi=0+PZi=1,=0.910+

2、100.10.99=1.90.99,PXi=1=1-PXi=0=1-1.90.99,Xi服从(0-1)分布,故其数学期望,而 E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)=41-1.90.99=1.0556,E(Xi)=PXi=1=1-1.90.99 (i=1,2,3,4),1(1),5.,在下列句子中随机地取一单词,以X表示取到的单词所包含的字母个数,写出X的分布律并求E(X).,“THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT”,解 共有8个单词,随机取到每个单词的概率都是1/8,X的分布律为,设在某一规定的时间间隔里,某电气设备用于最大负荷的时间X

3、(以分计)是一个随机变量,其概率密度为,求E(X).,解,6.,7.,设随机变量X的分布律为,求E(X),E(X2),E(3X2+5).,解,或 E(3X2+5)= 3E(X2) + 5 = 32.8 + 5 =13.4,设随机变量X的概率密度为,求(1)Y=2X;(2)Y=e-2X的数学期望.,解,9.,设(X,Y)的概率密度为,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2).,解 如图,阴影部份是f(x,y)不为零的区域,也可以先求边缘概率密度,13.,设随机变量X1,X2的概率密度分别为,(1)求E(X1+X2),E(2X1-3X22); (2)又设X1,X2相互独立,求E(X1X2

4、).,解 法一:利用已知概率密度计算积分,(1) E(X1+X2)=E(X1)+E(X2),E(2X1-3X22)=2E(X1)-3E(X22),(2)E(X1X2),(2),设随机变量Xi=,0, 第i次未抽到开门钥匙,1, 第i次抽到开门钥匙,(i=1,2,n),基本事件是从n把钥匙中抽取一把, 故基本事件总数为n.而取到每把钥匙是等可能的.由于只有一把钥匙能打开门上的锁,每把钥匙试开一次后除去,所以第i次抽到开门钥匙,只能从n-(i-1)把中抽取.,故 PXi=1=(n-i+1)/n,由(0-1)分布的数学期望E(Xi)=PXi=1=(n-i+1)/n, (i=1,2,n),而 X=X1

5、+ X2+ + Xn ,17.,设随机变量X服从瑞利分布,其概率密度为,其中0是常数,求E(X),D(X).,解 法一:利用,令t=x/,则,法二:利用函数的定义及性质,令 t=x2/22 ,则,20.,设长方形的高(以m计)XU(0,2),己知长方形的周长(以m计)为20,求长方形面积A的数学期望和方差.,解 法一: X的概率密度为,A=x(10-x)=10 x-x2,法二:利用已知均匀分布的数学期望和方差的结果和性质求解,D(A)=D(10X-X2),=D(10X)+D(X2)-2Cov(10X,X2),=100D(X)+E(X4)-E(X2)2-2E(10X3)-E(10X)E(X2),

6、=100D(X)+E(X4)-E(X2)2-20E(X3)+20E(X)E(X2),21(1),设随机变量 X1,X2,X3,X4相互独立,且有E(Xi)=i, D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4.设,求E(Y),D(Y).,解,E(Z2)=E(X-Y)=E(X)-E(Y)=720-640=80.,D(Z2)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)=900+625=1525.,故 Z2N(80,1525) .,E(X+Y)=E(X)+E(Y)=720+640=1360 ,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=900+625=1525.,故 X+YN(1360,1525) .,PXY=PX-Y0=PZ

7、20=1-PZ20,PX+Y1400=1-PX+Y1400,设随机变量 X,Y相互独立,且 XN(720, 302), YN(640, 252) ,求Z1=2X+Y, Z2=X-Y的分布,并求概率PXY,PX+Y1400.,解 E(X)=720, D(X)=302, E(Y)=640, D(Y)=252 .,E(Z1)=E(2X+Y)=2E(X)+E(Y)=2720+640=2080,D(Z1)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)=4900+625=4225=652,故 Z1N(2080,652),21(2),24.,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,试验证X和Y是不相关的, 但X和Y不是相互独立的.,解 先求边缘概率密度,同理,显然,在单位圆内,即 时,因此X和Y不是相互独立的.,同理,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相关的.,25.,设随机变量 X,Y的分布律为,PX=i 3/8 2/8 3/8,验证X和Y是不相关的, 但X和Y不是相互独立的.,解 先求出关于X,Y的边缘分布律如右,显然,对每一组(i,j) (i,j= -1,0,1), 都有 PX=i,Y=j PX=iPY=j ,因此X和Y不是相互独立的.,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,因此X和Y是不相关的.,27.,设随机变量(X,Y)具有概率密度,求