高等数学竞赛模拟试题（四）参考答案_第1页
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文档简介

1、高等数学竞赛模拟试题（四）参考答案一. 填空题（每小题4分，共40分）1若则。 2设分别具有二阶连续导数和二阶连续偏导数，则 。 3函数在点处沿曲面的外法线方向的方向导数为 。4级数的和等于。5设函数且可微，计算由曲面与柱面及平面所围的空间区域的体积。6椭球面与平面之间的最短距离=。7 设可微，则。8。9 =。10由曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面在点处的指向外侧的单位法向量为 。二、（每小题7分，共21分）1计算解：2设是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求。 解：，解得3证明： 。证：三、（7分）求极限解：四、（7分）当取何值时，曲线是圆？并求此圆的圆心坐标以及

2、该圆在平面，平面上的投影。解：曲线在平面上的投影曲线为，即，为一椭圆，中心为，此为圆心的投影，因此圆心为，而该椭圆的两轴端点，对应圆上的点为，则半径应为，圆心为，圆在平面上的投影为，圆在平面上的投影为一线段：。五.（9分）（1）。判别级数的敛散性；(2)。若当时，与为等价无穷小，试问交错级数是否一定收敛？若收敛，证明之；若未必收敛，举一发散的例子。解：（1）由Leibniz判别法得知级数收敛。（2）不一定。如，则，收敛，发散，所以发散。六（8分）讨论级数的敛散性（其中为常数）。解：当时，由Leibniz判别法得知级数收敛。当时，级数的一般项不趋于零，级数发散。当时，考虑级数，发散，因此级数（*）发散，故原级数发散。当时，考虑级数，发散，因此级数（*）发散，故原级数发散

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