专题三数列应用题（定稿）

1、专题三 数列应用题第一课时 等差数列模型应用题【题1】某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起

2、，各车的工作时间为a1，a2，, a25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且，化简可得. 解得.可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.【题3】一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，试求：（1）列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数是多少个？（2）第几站的邮袋数最多？最多是多少？解：设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列 （1）由题意得： 在第k站出发时，前面放上的邮袋共：个而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3

3、+（k1）个故 即列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数个（2） 当n为偶数时，时，最大值为当n为奇数时，时，最大值为.所以，当n为偶数时，第站的邮袋数最多，最多是个； 当n为奇数时，第站的邮袋数最多，最多是个【课后练习题】【题4】某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？ 【题5】国家助学贷款是由财

4、政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2010届毕业生凌霄在本科期间共申请了元助学贷款，并承诺在毕业后年内（按个月计）全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月元，第个月开始，每月工资比前一个月增加直到元.凌霄同学计划前个月每个月还款额为，第个月开始，每月还款额比前一月多元.（）若凌霄恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求的值；（）当时，凌霄同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月元的基本生活费？（参考数据：）解：（）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为构成等差

5、数列，其中，公差为. 从而，到第个月，凌霄共还款 令，解之得（元）.即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还元. （）设凌霄第个月还清，则应有 整理可得，解之得，取. 即凌霄工作个月就可以还清贷款.这个月凌霄的还款额为元第31个月凌霄的工资为元.因此，凌霄的剩余工资为，能够满足当月的基本生活需求. 【题6】某水库年初的存水量为a（a10000），其中污染物的含量为P0，该年每月降入水库的水量与月份x的关系是（1x12，xN），且每月流入水库的污水量r，其中污染物的含量为P（Pr），又每月库水的蒸发量也为r（假设水与污染物能充分混合，且污染物不蒸发，该年水库中的水不作它用）.（

6、1）求第x个月水库含污比g(x)的表达式（含污比）；（2）当P0=0时，求水质最差的月份及此月份的含污比.解：（1）第x月水库含污染物P0+Px，库容总量=当此时库容量=a+14+15+（13+x）= 当此时，库容总量= a+99+20+19+（27x）= （2）P0=0，a10000，当1x6时，易证上是减函数，且恒大于零，上是增函数 当x=6时，当7x12时，易证在（0，+）上是减函数，且恒大于零.上是增函数 当x=12时，a10000，水质量最差的是12月份，其含污比为.第二课时 等比数列模型【题1】1991年,某内河可供船只航行的河段长1000公里,但由于水资源的过度使用,促使河水断流

7、,从1992年起,该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的三分之二,试求 (1)到2000年,该内河可行驶的河段长度为多少公里？ (2)若有一条船每年在该内河上行驶一个来回, 问从1991年到2000年这条船航行的总路程为多少公里？.(1)a1=1000,an=,an为一等比数列,an=1000,所以到2000年,该内河可行驶船只的河段长度为a10=1000公里 (2)由于Sn=2(a1+a2+an)=2=6000所以从1991年到2000年这条船航行的总路程为Sn=6000公里【题2】某工厂更新设备,在1993年初贷款100万元,从该年度末开始,每年度末偿还一定的金额,计划在10年内还清,

8、年利率为13%,那么每年需支付金额多少？ 解法1：设每年偿还金额为x万元,则第一年末贷款余额为100(1+13%)x,第二年末贷款余额为100(1+13%)x(1+13%)x=100(1+13%)21+(1+13%)x第三年末贷款余额为100(1+13%)x(1+13%)x(1+13%)x=100(1+13%)31+(1+13%)+(1+13%)2x第10年末贷款余额为100(1+13%)101+(1+13%)+(1+13%)2+(1+13%)9x100(1+13%)101+(1+13%)+(1+13%)2+(1+13%)9x=0解得：x=14.5万元解法2：10年内,借款的本利和为100(1

9、+13%)10万元,设每年偿还金额为x万元,则还款的本利和为x(1+13%)9+(1+13%)8+(1+13%)+1万元,由借款本利和等于这款的本利和,可得100(1+13%)10 =x(1+13%)9+(1+13%)8+(1+13%)+1x=14.5万元。【题3】为减少长沙市区内的环境污染，市政府有关部门决定，从2006年开始停止办理长沙市区内的士入户手续.此时该区域内的士拥有量已达1.6万辆.据测算，每7辆的士排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆的士的运送能力是一辆公交车运送能力的4%.若从2006年年初起n年内退役部分的士，第一年退役a万辆，以后每年退役的的士数量是上一年的8

10、0%，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力等于退役的士原有的运送能力.（）求n年内退役的士的总量（万辆）;（）要求到2010年年初，剩余的士与新增公交车排放污染物的总量不超过原有1.6万辆的士排放污染物总量的一半，假定每辆的士排放污染物数量为,问第一年至少退役的士多少万辆？（精确到0.01）解：（）由题意知，第一年退役的士万辆，第二年退役万辆，第n年退役万辆，所以，n年共退役的士万辆 根据所给条件得：因此n年内退役的士的总量为万辆; （）由题意，经过4年新增公交车数量为剩余的士排放污染物为： ， 新增公交车排放的污染物为：， 据题意+，则答： 第一年至少退役的士0.38万辆. 【课后练

11、习题】【题4】某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？.解：（）依题设，An=(50020

12、)+(50040)+(50020n)=490n10n2；Bn=500(1+)+(1+)+(1+)600=500n100.（）BnAn=(500n100) (490n10n2)=10n2+10n100=10n(n+1) 10.因为函数y=x(x+1) 10在（0，+）上为增函数，当1n3时，n(n+1) 1012100.仅当n4时，BnAn.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.【题5】为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在以上的坡荒地都要绿化造林.经初步统计，在三峡库区内坡度大于的坡荒地面积约有2640万亩.若从2003年初开始绿化造林，第一年造林1

13、20万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩.（1）若所有被绿化造林的坡荒地全都成功.问到哪一年底可使库区的坡荒地全都绿化？（2）若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为万立方米，每年树木木材量的自然生长率为20%，那么当整个库区以上坡荒地全部绿化完的那一年底，一共有木材多少万立方米？（保留1位小数，,）解：(1)设，第年后可以使绿化任务完成.则有， 解得，. 故，到2010年，可以使库区内以上的的坡地全部绿化.(2)第2010年造林数量为：(万亩)， 设到2010年木材总量为，依题意有： .令两边乘以1.2得， 得，. ，（万立方米）.答：到2010年底共有木材543.6万立方米.【题6】商学院为

14、推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元其余部分全部在年底还建行贷款（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）（参考数据：lg1.73430.2391，lgl.050.0212，1.4774）解析：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用（1）设公寓

15、投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为100080（元）800000（元）80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元依题意有化简得两边取对数整理得取n12（年）到2014年底可全部还清贷款（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，依题意有化简得（元）故每生每年的最低收费标准为992元第三课时 数列综合应用题（选讲）【题1】有一条生产流水线，由于改进了设备，预计第一年产量的增长率为150%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a.（）写出改进设备后的第一年，第二年，第三年的产量，并写出第n与第n1年（n2，nN）的产量之间的关系式；（）由于设

16、备不断老化，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否始终是逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少.解（）设第n年后的产量为an,则a1=a(1+150%) ，a2=a(1+150%)(1+75%) a3=a(1+150%)(1+75%)(1+37.%)，即 （）依题意，由2n27，于2527,2427. .故从第5年起产量将比上一年减少【题2】政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价用表示某企业第年投入的治理污染的环保费用，用表示该企业第年的产值设（万元），且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加（万元）；又设（万元），且企业的产值

17、每年比上一年的平均增长率为用表示企业第年“对社会的有效贡献率” 求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；试问：从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于？（1）因为 ，根据题意：， （2分） 所以 （4分） （6分）该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为和（7分） 因为 （9分） （11分）所以 （12分）下证： 为增函数 （15分） 证法1： 又 则 为增函数证法2： 则 为增函数 再验证： ， （17分） 故，从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于 （18分）【题3】某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽

18、车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?讲解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，每年新增汽车万辆，则，所以，当时，两式相减得：（1）显然，若，则，即，此时（2）若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.（i）若，则对于任意正整数，均有，所以，此时，（ii）当时，则对于任意正整数，均有，所以，由，得，要使对于任意正整数，均有恒成立，即 对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.【课后练习题】【题4】2002年底某县的绿化面

19、积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a1=，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1；（2）求数列an的第n+1项an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分an后剩余的面积an，另一部分是新绿化的面积bn，于是

20、an+1=an+bn=an+（1an）=an+.（2）an+1=an+，an+1=（an）.数列an是公比为，首项a1=的等比数列.an+1=+（）（）n.（3）an+160%，+（）（）n，（）n，n（lg91）lg2，n6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.【题5】某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定利率为r (r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1 + r)n 1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1 + r) n 2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出Tn与Tn 1(n2)的递推关系式；（2）求证：Tn = An + Bn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.【解析】（1）依题设有Tn = Tn 1(1 + r) + an(n2).（2）T1 = a1，对n2反复使用上述关系式，得Tn = Tn 1(1 + r) + an = T n 2(1 + r)2 + a n 1(1 + r) + an = a1(1