东南大学2006年高等数学竞赛曁江苏省第八届高等数学竞赛选拔赛试卷答案及评分标准_第1页
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1、东南大学2006年高等数学竞赛曁江苏省第八届高等数学竞赛选拔赛试卷答案及评分标准一. 计算或证明极限（本题共4小题，每小题10分，满分40分）1计算极限 解:（3分）（5分）（2分）（介于与之间）2设 ，求 。解:设，则（2分），故有，（4分）由于，（1分）故，得（3分）3设（表示不超过的最大整数），求。解:当 （5分）由于且 （4分）故 （1分）4设在区间上不恒为零，且，试证数列收敛。解:由于在区间上不恒为零，故。（1分），故单调增加。（5分）由于在区间上有界，故，有上界，（3分）所以收敛。（1分）二（本题共5小题，满分60分）5（本题满分10分）设在上有二阶连续导数，则对，有 解:由Lag

2、range中值定理,使，（3分）故 ，（4分）因此（3分）6（本题满分12分） 设为个不同的实数，函数在上有阶导数，并满足 ，则对，存在，满足等式解:令，当，由题意，又，故中任一点都可以取作，使（2分）当，令，（4分）则，故在内存在个不同的点，使，（2分）又存在个不同的点，使，如此下去，使，（2分）即，故（2分）7（本题满分12分）试计算由曲线及围成的图形绕直线旋转而成的立体的体积。解:将坐标系逆时针旋转使变成轴，即令，（5分）则已知曲线分别变成，（3分）故 （4分）8（本题满分12分）如图，A、B、C、D四个动点开始分别位于一个边长为的正方形的四个顶点，然后A点向着B点，B点向着C点，C点向着D点，D点向着A点同时以相同的速率运动，求点A的运动轨迹。解:建立坐标系，其中原点是正方形的中心，设是A点的运动轨迹上的任一点，此时B点的位置应为，（2分）由题意，点A的运动轨迹在M处的切线经过点N，故有 ，（4分）令，即，方程化成 ，即 ，（4分）由，得，故A点的运动轨迹为（2分）9（本题满分14分）设（1）求的最大值；（2）求的最大值；（3）证明解:（1）令，由，得，在处，在其它几点处，故的最大值为。（3分）（2）设，由（1）可知在处有最大值。设在处有最

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