第3节基本不等式及应用

1、2021新亮剑高考总复习不等式第七章第3节基本不等式及应用1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲3目 录 磨剑课前自学高考动态拓展知识知识查缺补漏磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录 4最新考纲考向分析1. 了解基本不等式的证明过程.2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题近几最值;(2)比较大合运用. 核心素养:逻辑推理、算高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录一、重要不等式a2+b2 2ab(a,b5高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录二、基本不等式1. 基本不等式成立的条件: a0,b0.2. 等号成立的条件:当且仅当 a=b时等号成立.算术平均数 , 叫作正数 a,b 的 几均数

2、3.其中+叫作正数 a,b 的.26高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录三、利用基本不1.如果那么当x=y 时,x+y 有最2.如果 x,y(0,+),且 x+y=S(定值),2那么当 x=y 时,xy 有最大值.(简记:“和定积最大”)47高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录1. + 2(a,b 同号且均不为 0),当且仅当 a=b 时取等号.2 2 +2+2.ab .223. 2 + 2 +2(a0,b0).1+1224.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.8高考动态知识拓展知识查缺补漏目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”)

3、(1)两个不等式 a2+b22ab 与 + 成立的条件是相同的.()2(2)函数 y=x+1的最小值是 2.(3)函数 f(x)=sin x+ 4的最小值为 4.sin (4)x0 且 y0 是+ 2 的充要条件.答案解析9目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识(1)不等式 a2+b22ab 成立的条件是 a,bR;不等式+ 成立的条件解析是 a0,b0.2(2)函数 y=x+1的值域是(-,-22,+),没有最小值.(3)当 sin x0 时,f(x)0 且 y0 是+2 的充分不必要条件.10目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【基础自测1.若 0x6,则 f(x)= (8-)的最大值为BA.1

4、6C.4 3B.4D. 5330x6,8-x0,f(x)= (8-)+(8-)=4, 当 且解析2仅当 x=8-x,即 x=4 时,等号成立.故 f(x)的最大值为 4.故选 B.答案解析11目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识2.设 x0,y0,且 x+y=18,则 xy 的最大值为(B).A.80B.81C.72D.77解析x0,y0, + ,22=81,+即 xy 2当且仅当 x=y=9 时取等号,故(xy)max=81.答案解析12目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识3.设 x,y 均为正实数,且1+1=1,则 x+y 的最小值为 4.解析x+y=(x+y) 1 + 1 =2+2+2 =4

5、,当且仅当 x=y=2 时 等号成立.故 x+y 的最小值为 4.答案解析13目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识【易错自测】4.“x0”是“x+12”成立的(C). A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析当 x0 时,x+12 1=2,当且仅当 x=1 时取等号.因为 x,1同号,所以若 x+12,则 x0,10,所以“x0”是“x+12”成立的充要条件,故选 C.答案解析14目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识5.若函数 f(x)=x+ 1 (x2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于(A ).-2B.1+ 3A.3C.1+ 2D.4当 x2 时 ,x-2

6、0, 则 f(x)=x+ 1 =(x-2)+ 1 +22 (-2)1解析+2=4,-2-2-2当且仅当 x-2= 1 (x2),即 x=3 时,等号成立,因此 a=3,故选 A.-2答案解析1516目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题磨剑课前自学悟剑课堂精讲目 录考点 1利用基本不等式证明 例 1已知 a0,b0,a+b=1,求证: 1+119. 1 + 解析(法一)因为 a0,b0,a+b=1,所以 1+1=1+=2+.同理可得 1+1=2+.11所 以 1 +1 += 2 + 2 + =5+25+4=9, + 111所 以 1 +1 +9,当且仅当 a=b=时等号成立.解析217考点

7、探究素养达成高考真题目 录11=1+1+1+ 1(法二) 1 + 1 + =1+ + 1 =1+ 2 ,因为 a,b 为正数,a+b=1,2=1,所以 1 4, 2 8,+所以 ab 24111因此 1 +1 +1+8=9,当且仅当 a=b= 时等号成立.2解析18考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：应用基本不等式证明不等式时,一般要先对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二 定”“三相等”. 19考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 1】设 a,b,c 都是正数,求证: + + a+b+c.解析a,b,c 都是正数, ,

8、 , 都是正数, + 2c,当且仅当 a=b 时等号成立, + 2a,当且仅当 b=c 时等号成立, + 2b,当且仅当 a=c 时等号成立. + + 2(a+b+c),三式相加得 2 即 + + a+b+c,解析当且仅当 a=b=c 时等号成立.20考点探究素养达成高考真题目 录考点2利用基本不等式求最值考向 1:利用配凑法求最值例 2(1)已知 0x1,则 x(3-3x)的最大值为(C).A.1B.1C.3D.23243(2)若 x5,则 f(x)=4x-2+ 1的最大值为 1.4-54解析答案21考点探究素养达成高考真题目 录2=3,当 3x=3-3x,3+3-3解析(1)因为 0x1,

9、所以 x(3 -3x)=13 x(3 -3x)1 3324即 x=1时,x(3-3x)取得最大值3.故选 C.24(2)因为 x0,4则 f(x)=4x-2+ 1=- 5-4 +11 +3-2 (5-4)+3=-2+3=1,4-55-45-4当且仅当 5-4x= 1,即 x=1 时,等号成立.5-4故 f(x)=4x-2+ 1的最大值为 1.4-522考点探究素养达成高考真题目 录考向 2:利用常数代换或消元法求最值2已知双曲线- 22=1(m0,n0)和椭圆+ 2=1 有相同的焦点,则1 +4的最小例 354值为(). A.2B.4C.6D.9解析答案23考点探究素养达成高考真题目 录2解析

10、椭圆 +=1 的焦点坐标为(1,0),m+n=1, 254 1 +4=1444 +(m+n)=1+4=5+ .m,n0, 0,40, +42 4=4,当且仅当 =4,即 n=2,m=1时取等号,3314=5+4=9,故选 D. + min24考点探究素养达成高考真题目 录方法总结：在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后利用基本不等式求解. 25考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 2】1.(1)若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 9,+).1 , + (2)若对于任意 x0,a 恒成立,则 a 的取值范围是 5. 2

11、+3+1解析(1)a,b 是正数,ab=a+b+32 +3,解得 3,即 ab9 ,1(2)=1 2 +3+13+x0,x+12(当且仅当 x=1 时取等号),11=1,即的最大值为1,故 a1.则1 2 +3+13+25553+解析答案26考点探究素养达成高考真题目 录2.已知 x,y 均为正实数,且 1+ 1=1,则 x+y 的最小值为(). +2+26C.20A.24解析B.32D.28x,y 均为正实数,且 1+ 1=1,+2+26x+y=(x+2+y+2)-4 1=6+1 (x+2+y+2)-4+2+2=6 2 + +2 + +2 -4+2+26 2 + 2 +2 +2 -4=20,

12、+2+2当且仅当 x=y=10 时取等号.x+y 的最小值为 20.解析答案27考点探究素养达成高考真题目 录3.(2020 届石家庄质检)已知直线 l:ax+by-ab=0(a0,b0)经过点(2,3),则 a+b 的最小值 为 5+2 6.解析因为直线 l 经过点(2,3),所以 2a+3b-ab=0,所以 b= 2 0,所-3以 a-30,所以 a+b=a+ 2 =a-3+66=5+2 6,当且仅+55+2 (-3)-3-3-3当 a-3= 6 ,即 a=3+ 6,b=2+ 6时等号成立.-3解析答案28考点探究素养达成高考真题目 录考点3例 4基本不等式的实际应用在城市旧城改造中,某小

13、区为了升级居住环境,拟在小区的闲置地中规划一个面积为 200 m2 的矩形区域(如图所示),按规划要求:在矩形内的四周安排 2 m 宽的绿化,绿化造价为 200 元/m2,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材,硬化造价为 100 元/m2.设矩形的长为 x(m).(1) 求总造价 y(元)表示为长度 x(m)的函数;(2) 当 x(m)取何值时,总造价最低?并求出最低总造价.解析29考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由矩形的长为 x(m),可得矩形的宽为200(m),所以中间区域的长为 x-4(m),宽为200-4(m),则 x(4,50),故y=100 (-4) 200 -4 +

14、200 200-(-4) 200 -4 ,整理得 y=18400+400 + 200 ,x(4,50).(2) 由 于 x+2002 200=20 2,当且仅当 x=200时取等号,即 x=10 2,又 10 2(4,50),所以当 x=10 2时,总造价最低,最低为 18400+8000 2元.30考点探究素养达成高考真题目 录【针对训练 3】甲工厂生产某种材料,并以 x 千克/小时的速度匀速生产(为保证质量要求 1x10),每小时可消耗 A 材料(kx2+9)千克,已知每小时只生产 1 千克该产品时,消耗 A 材料 10 千克.(1) 设生产 m 千克该产品,消耗 A 材料 y 千克,试把

15、 y 表示为 x 的函数.(2) 要使生产 1000 千克该产品消耗的 A 材料最少,工厂应选取何种生产速度?消耗的 A 材料最少为多少? 解析31考点探究素养达成高考真题目 录解析(1)由题意,得 k+9=10,即 k=1,生产 m 千克该产品需要的时间是,所以 y=(x2+9)=m9,x1,10. + (2)由(1)知,生产 1000 千克该产品消耗的 A 材料为 y=1000 + 9 10002 9=6000,当且仅当 x=9,即 x=3 时,等号成立,且 31,10.故工厂应选取 3 千克/小时的生产速度,消耗的 A 材料最少,最少为 6000 千克.32考点探究素养达成高考真题目 录

16、数算巧解不等式1.在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.2.注意基本不等式成立的条件是 a0,b0,若 a0,b0,-b0,再运用基本不等式求解.3.“当且仅当 a=b 时等号成立”的含义是“a=b” 是等号成立的充要条件,这一点至关重要,忽略它往往会导致解题错误.答案33考点探究素养达成高考真题目 录2例(2020 届天津和平第三次质检)已知 x0,y-1,且 x+y=1,则+3+ 2的最小值+1为 2+ 3 .解析答案34考点探究素养达成高考真题目 录 2 +3+ 231解析= + + -1 + ,+1+1x+y=1,原式=3

17、+1.+11+(+1)3+1= 3 +1+12=1 4 + 3(+1) + 2+13(+1)1 4 + 2 =2+ 3,2+1当且仅当 x=3- 3,y=-2+ 3时等号成立.2即+3+ 2的最小值为 2+ 3.+135考点探究素养达成高考真题目 录【突破训练】已知 ab0,求 a2+16的最小值.(-)解析ab0,a-b0.2 2+(-)b(a-b) =.2416a2+642 2 64=16,a2+ 2 2(-)当 a2=64且 b=a-b,即 a=2 2,b= 2时等号成立. 216a2+的最小值为 16.(-)解析36考点探究素养达成高考真题目 录1.(2019 年天津卷)设 x0,y0,x+2y=5,则(+1)(2+1)的最小值为.43 解析x0,y0, 0.x+2y=5,(+1)(2+1)=2 +2+1=2 +6=2 + 62 12=4 3, 当且仅当 2 = 6且 x+2y=5 时取等号. (+1)(2+1)的最小值为 4 3. 解析答案37考点探究素养达成高考真题目 录1 42.(2018 年天津卷)已知 a,bR,且 a-3b+6=0,则 2a+ 1 的最小值为.8解析a-3b+6=0,a-3b=-6,2a+ 1 =2a+2-3b2 2 2-3 =2 2-3 =2 2-6=22-3=1,当且仅当84 = -3,即 = -3,时等号成立.-3 + 6 = 0, =