高中数学必修五习题及解析

1、必修五第一章 解三角形1.在ABC中，AB5，BC6，AC8，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形解析：最大边AC所对角为B，则cosBBC BBAC CCBA DCAB解析由正弦定理，sinB.B为锐角，B60，则C90，故CBA. 答案C3在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4 B4 C4 D.解:由ABC180，可求得A45，由正弦定理，得b4.答案C4在ABC中，AB5，BC7，AC8，则的值为()A5 B5 C15 D15解析在ABC中，由余弦定理得cosB.|cosB575. 答案A5若三角形三边长之比是1：2，则其所对角之比

2、是()A1：2：3 B1：2 C1： D.：2解析设三边长分别为a，a,2a，设最大角为A，则cosA0，A90.设最小角为B，则cosB，B30，C60. 因此三角之比为1：2：3. 答案A6在ABC中，若a6，b9，A45，则此三角形有()A无解 B一解 C两解 D解的个数不确定解析由，得sinB1.此三角形无解 答案A7已知ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2Asin2C)(ab)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为()A30 B45 C60 D90解析根据正弦定理，原式可化为2R(ab)， a2c2(ab)b，a2b2c2ab，cosC，C45. 答案B8在A

3、BC中，已知sin2Asin2BsinAsinBsin2C，且满足ab4，则该三角形的面积为()A1 B2 C. D.解析由2R，又sin2Asin2BsinAsinBsin2C，可得a2b2abc2.cosC，C60，sinC.SABCabsinC.答案D9在ABC中，A120，AB5，BC7，则的值为()A. B. C. D.解析由余弦定理，得cosA，解得AC3. 由正弦定理. 答案D10.在三角形ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC的大小为()A. B. C. D.解析由余弦定理，得cosBAC，BAC.答案A11有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则

4、坡底要加长()A0.5 km B1 km C1.5 km D. km解析如图，ACABsin20sin20，BCABcos20cos20，DC2cos210，DBDCBC2cos210cos201. 答案B12已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若ac，且A75，则b为()A2 B42 C42 D.解析在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccosA，ac，0b22bccosAb22b()cos75，而cos75cos(3045)cos30cos45sin30sin45()，b22b()cos75b22b()()b22b0，解得b2，或b0(舍去)故选A. 答案A13在ABC中

5、，A60，C45，b4，则此三角形的最小边是_解析由ABC180，得B75，c为最小边，由正弦定理，知c4(1) 答案4(1)14在ABC中，若b2a，BA60，则A_.解析由BA60，得sinBsin(A60)sinAcosA.又由b2a，知sinB2sinA.2sinAsinAcosA.即sinAcosA.cosA0，tanA.0A180，A30. 答案3015在ABC中，AC2B，BC5，且ABC的面积为10，则B_，AB_.解析由AC2B及ABC180，得B60.又SABBCsinB，10 AB5sin60，AB8. 答案60816在ABC中，已知(bc)：(ca)：(ab)8：9：1

6、0，则sinA：sinB：sinC_.解析设可得a：b：c11：9：7.sinA：sinB：sinC11：9：7. 答案11：9：7三、解答题(本大题共6个小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)在非等腰ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2b(bc)(1)求证：A2B；(2)若ab，试判断ABC的形状解(1)证明：在ABC中，a2b(bc)b2bc，由余弦定理，得cosB，sinA2sinBcosBsin2B.则A2B或A2B.若A2B，又ABC，BC.这与已知相矛盾，故A2B.(2)ab，由a2b(bc)，得3b2b2bc，c2b.又a2b

7、24b2c2.故ABC为直角三角形18(12分)锐角三角形ABC中，边a，b是方程x22x20的两根，角A，B满足2sin(AB)0.求：(1)角C的度数；(2)边c的长度及ABC的面积解(1)由2sin(AB)0，得sin(AB).ABC为锐角三角形，AB120，C60.(2)a，b是方程x22x20的两个根，ab2，ab2.c2a2b22abcosC(ab)23ab1266.c.SABCabsinC2.19(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75，距离为12 nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8 nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东

8、120，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离解(1)在ABD中，ADB60，B45，AB12 ，由正弦定理，得AD24(nmile)(2)在ADC中，由余弦定理，得CD2AD2AC22ADACcos30.解得CD8(nmile)A处与D处的距离为24 nmile，灯塔C与D处的距离为8 nmile.20(12分)已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积解(1)证明：mn，asinAbsinB.由正弦定得知，sinA，sinB

9、(其中R为ABC外接圆的半径)，代入上式，得ab，ab.故ABC为等腰三角形(2)mp，mp0，a(b2)b(a2)0，abab.由余弦定理c2a2b22abcosC得4(ab)23ab，即(ab)23ab40.解得ab4，ab1(舍去)ABC的面积SabsinC4sin.第二章 数列1已知正项数列an中，a1=l，a2=2，2an2=an+12+an-12（n2），则a6=（）A16B4C22D45【解答】解：正项数列an中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an12（n2），an+12an2=an2an12，数列an2为等差数列，首项为1，公差d=a22a12=3，an2=1+3（

10、n1）=3n2，an=3n+2a6=36-2=4， 故选：B2张丘建算经卷上第22题“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（）A47尺B1629尺C815尺D1631尺【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，由题意知S30=305+30292d=390，解得d=1629故该女子织布每天增加1629尺故选：B3已知数列an满足a1=1，an+1=2an,(n为正奇数）an+1,(n为正偶数），则其前6项之和是（）A16B20C33D120【解答】解：a1=1，an+1=2an,(n为正奇数）an+1,

11、(n为正偶数），a2=2a1=2，a3=a2+1=2+1=3，a4=2a3=6，a5=a4+1=7，a6=2a5=14其前6项之和是1+2+3+6+7+14=33故选C4定义np1+p2+pn为n个正数p1，p2，pn的“均倒数”若已知数列an的前n项的“均倒数”为12n+1，又bn=an+14，则1b1b2+1b2b3+1b10b11=（）A 111B910C 1011D 1112【解答】解：由已知得，na1+a2+an=12n+1a1+a2+an=n（2n+1）=Sn当n2时，an=SnSn1=4n1，验证知当n=1时也成立，an=4n1，bn=an+14，1bnbn+1=1n-1n+11

12、b1b2+1b2b3+1b10b11=(1-12)+12-13+13-14+110-111=1-111=1011 故选C5已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x+4=0的两个根，则S6=63【解答】解：解方程x25x+4=0，得x1=1，x2=4因为数列an是递增数列，且a1，a3是方程x25x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4设等比数列an的公比为q，则q2=a3a1=41=4，所以q=2则S6=a1(1-q6)1-q=1(1-26)1-2=63 故答案为636如图给出一个“三角形数阵”已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一

13、行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij（ij，i，jN*），则a53等于，amn=（m3）1412,1434,34,316【解答】解：第k行的所含的数的个数为k，前n行所含的数的总数=1+2+n=n(n+1)2a53表示的是第5行的第三个数，由每一列数成等差数列，且第一列是首项为12，公差d=12-14=14的等差数列，第一列的第5 个数=14+5-114=54;又从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q=3834=12，第5行是以为首项，12为公比的等比数列，a53=54(12)2=516amn表示的是第m行的第n个数，由可知：第一列的第m 个数=14+

14、m-114=m4，amn=m4(12)n-1=m2n+1故答案分别为516， m2n+17等差数列an中，a7=4，a19=2a9，（）求an的通项公式； （）设bn=1nan，求数列bn的前n项和Sn【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an（II）由bn=1nan=2n(n+1)=2n-2n+1，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列an的公差为da7=4，a19=2a9，a1+6d=4a1+18d=2(a1+8d)解得，a1=1，d=12an=1+12n-1=1+n2（II）bn=

15、1nan=2n(n+1)=2n-2n+1Sn=2(1-12+12-13+1n-1n+1)=21-1n+1=2nn+18已知等差数列an，的前n项和为Sn，且a2=2，S5=15，数列bn满足b1=12，bn+1=n+12nbn（1）求数列an，bn的通项公式；（2）记Tn为数列bn的前n项和，fn=2Sn(2-Tn)n+2，试问f（n）是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在请说明理由将bn+1=n+12nbn整理，得到bnn是首项为12，公比为12的等比数列，应用等比数列的通项即可求出bn；（2）运用错位相减法求出前n项和Tn，化简f（n），运用相邻两项的差f（n+1）f（n），判断f（

16、n）的增减性，从而判断f（n）是否存在最大值【解答】解：（1）设等差数列an首项为a1，公差为d，则a1+d=25a1+10d=15解得a1=1，d=1，an=n，又bn+1n+1=bn2n，即bnn是首项为12，公比为12的等比数列，bnn=b11(12)n-1，bn=n2n；（2）由（1）得：Tn=12+222+323+n2n，12Tn=123+223+324+n-12n+n2n+1，相减，得12Tn=12+122+123+12n+n2n+1， =12(1-12n)1-12，Tn=2-n+22n，又Sn=12n（n+1），fn=2Sn(2-Tn)n+2=n2+n2n，fn+1-fn=(n+

17、102+n+12n+1-n2+n2n=(n+1)(2-n)2n-1，当n3时，f（n+1）f（n）0，数列f（n）是递减数列，又f1=1,f2=32,f3=32f（n）存在最大值，且为329设数列an的前项n和为Sn，若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n.（1）设bn=an+5，求证：数列bn是等比数列，并求出an的通项公式。（2）求数列nan的前n项和. 解：（1）Sn=2an-3n对于任意的正整数都成立，Sn+1=2an+1-3(n+1) 两式相减，得Sn+1-Sn=2an+1-3n+1-2an+3nan+1=2an+1-2an-3， 即an+1=2an+3an+1+3=2(an+3

18、)，即bn=an+1+3an+3=2对一切正整数都成立。数列bn是等比数列。由已知得 S1=2a1-3 即a1=2a1-3首项b1=a1+3，公比q=2，bn=62n-1。an=62n-1-3=32n-3。10设数列an的前n项为Sn，点n,Snn,nN*均在函数y = 3x2的图象上.（1）求数列an的通项公式。（2）设bn=3anan+1，Tn为数列bn的前n项和，求使得Tnm20对所有nN*都成立的最小正整数m.解：（1）点n,Snn在函数y = 3x2的图象上，a1= s1 =1当 （2） ，使得12(1-16n-1)m20(nN*)成立的m必须且仅需满足12m20即m10，故满足要求

19、的最小整数m为10.第三章 不等式1.若ba1bB.|a|b| C.ba+ab2D.a+bab【解析】选C.取b=-2，a=-1代入验证得C正确.2.(2015赣州高二检测)不等式x-4x-11的解集是()A.(-，-1)(3，+)B.(-1，1)(3，+) C.(-，-1)(1，3)D.(-1，3)【解析】选C.不等式x-4x-11化为(x-1)2-4x-10，即(x-3)(x+1)x-10，由穿根法可得不等式的解集为(-，-1)(1，3).3.(2015太原高二检测)若mn，pq且(q-m)(q-n)0，(p-m)(p-n)0，则m，n，p，q从小到大排列顺序是()A.pmnq B.mpq

20、n C.pqmnD.mnpq【解析】选B.将p，q看成变量，则mpn，mq0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是()A.3B.4C.92D.112【解析】选B.考查基本不等式x+2y=8-x(2y)8-x+2y22，整理得x+2y2+4x+2y-320，即x+2y-4x+2y+80，又x+2y0，所以x+2y4.当且仅当x=2，y=1时取等号.6.设不等式组x+y-110,3x-y+30,5x-3y+90表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()A.(1，3B.2，3 C.(1，2D.3，+)【解析】选A.作出区域D的图象，联系指数函数y

21、=ax的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点(2，9)时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点，故a的取值范围为(1，3.7.当x1时，不等式x+1x-1a恒成立，则实数a的取值范围是()A.(-，2B.2，+) C.3，+)D.(-，3【解析】选D.因为x1，所以x-10，则x+1x-1=x-1+1x-1+12+1=3，当且仅当x=2时取等号，所以a3.8.(2015恩施高二检测)已知函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(-1，3)和(1，1)两点，若0c1，则a的取值范围是()A.(1，3)B.(1，2) C.2，3)D.1，3来源:Z,xx,k.Com

22、【解题指南】由函数图象经过两点，将两点的坐标代入，可得a，b，c的关系，又因为0c1，由此确定a的取值范围.【解析】选B.a-b+c=3,a+b+c=1,a+c=2，c=2-a，02-a1，1a2.9.(2015铁岭高二检测)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A.甲车间加工原

23、料10箱，乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【解析】选B.设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱.则x+y70,10x+6y480,x,yN,目标函数z=280x+200y，结合图象可得：当x=15，y=55时z最大，本题也可以将答案逐项代入检验.10.已知M是ABC内的一点，且ABAC=23，BAC=6，若MBC，MCA，MAB的面积分别为12，x，y，则1x+4y的最小值为()A.16B.18C.20D.24【解析】选B.因为ABAC=23，BAC=6，|AB|AC

24、|cos6=23，bc=4，SABC=12bcsin6=14bc=1.MBC，MCA，MAB的面积分别为12，x，y，12+x+y=1，化为x+y=12.1x+4y=2(x+y)1x+4y=25+yx+4xy25+2yx4xy=18，当且仅当y=2x=13时取等号，故1x+4y的最小值为18.11.已知两点O(0，0)，A(1，1)及直线l：x+y=a，它们满足：O，A有一点在直线l上或O，A在直线l的两侧，设h(a)=a2+2a+3，则使不等式x2+4x-2h(a)恒成立的x的取值范围是()A.0，2B.-5，1C.3，11D.2，3【解析】选B.由O，A有一点在直线l上可得a=0或a=2，

25、来源:Zxxk.Com由O，A在直线l的两侧可得a(a-2)0，解得0a2，故0a2，又函数h(a)=(a+1)2+2在0，2上单调递增，所以h(a)max=h(2)=11，h(a)min=h(0)=3，由x2+4x-2h(a)恒成立，得x2+4x-23，解不等式可得-5x1.12.若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4m2-3m有解，则实数m的取值范围是()A.(-1，4)B.(-，-1)(4，+) C.(-4，1)D.(-，0)(3，+)【解析】选B.因为不等式x+y4m2-3m有解，所以x+y4min0，y0，且1x+4y=1，所以x+y4=x+y41x+4y=4xy+y

26、4x+224xyy4x+2=4，当且仅当4xy=y4x，即x=2，y=8时取等号，所以x+y4min=4，故m2-3m4，即(m+1)(m-4)0，解得m4，所以实数m的取值范围是(-，-1)(4，+).13.已知不等式x2-ax-b0的解集为_.【解析】依题意知方程x2-ax-b=0的两根为2，3，根据根与系数的关系可求得a=5，b=-6，所以不等式bx2-ax-10为6x2+5x+10，解得-12x-13.答案：-12,-1314.(2015扬州高二检测)不等式4x-32x+20的解集是_.【解析】由4x-32x+20(2x)2-32x+20(2x-1)(2x-2)012x2.所以0x1，故不等式的解集是x0x1. 答案：x0x0，得32x-k3x+20，解得k3x+23x，而3x+23x22，所以k1，已知在约束条件yx,ymx,x+y1下，