复件 定积分的应用

1、第八节定积分的应用平面图形的面积体积经济应用小结一、平面图形的面积1.选x为积分变量yy =f ( x)xoab曲边梯形的面积bS =f (x)dxacdebbS =-f (x)dx +f (x)dx -f (x)dx=f (x)dxf (x) dxacdeayy =f2 ( x)曲边梯形的面积bS =fy =bf( x)(x) - f(x)dx1x21aoaA1A3acA2deA4b2.选y为积分变量ydx = j(y)d=j(y)dySxocabcydx = j2 (y)x = j1 (y)d=j1 (y) - j2 (y)dyScocxab例 1 计算由两条抛物线y 2 = x 和y =

2、 x 2 所围成的图形的面积.,1)解1A =x - x2 )dx(012- x332=x33 0= 1 .3x = y2(1y = x2计算由曲线y 2= 2 x 和直线y = x - 4所围例2成的图形的面积.两曲线的交点解4 y2 = 2 x (2,-2), (8,4). y = x - 4( y + 4 - 1 y 2 )dy = ( y 2164S =+ 4 y -y) |= 1834-22-2y = x -y2 = 2xx22+ y= 1的面积.例 3求椭圆a2b2解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积ba= 4 b 1 pa2 = pab.aA = 4a2- x2dxa40二

3、、体积1、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆锥圆台(1)y = f (x), x = a, x = b围成图形绕x轴旋转而成的体积为yy =f ( x)取积分变量为x ，x a, b在a, b上任取小区间 x, x + dx，oxx + dxx取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄dV= p f ( x)2 dx片的体积为体积元素，bV= pf 2 (x)dx旋转体的体积为xay1= f (x), y2= g(x), x = a, x = b围成图形绕(2)x轴旋转而成的体积为bV= p(f 2 (x) - g2 (x)dxxa

4、(3)x = j(y), y = c, y = d围成图形绕y轴旋转而成的体积为dV= pj2 (y)dyydycx = j ( y)coxx1= f(y), x2= j(y), y = c, y = d围成图形绕(4)y轴旋转而成的体积为dV= p(f2 (y) - j2 (y)dyyc(5)y = f (x), x = a, x = b, y = 0围成图形绕y轴旋转而成的体积为特殊:f(x)为直线bVy = 2px |f ( x) | dxaf (x)x + Dxxx2y 2+= 1例1求(1)绕x轴,(2)绕y轴旋转产a2b2生的旋转体体积y = ba-aV= py 2dxa2- x2

5、解: (1)绕x轴xa)dx =2pb2a b24p1= 2p02- x2(ax -x) |0323a=ab 32(aa2a2(2)绕y轴a b24pa= 4p0a- xdx =222Vy= 2 2pxab3x | f (x) | dxa20例2求y = x2 , x = y2围成平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积.1V= p(x)2- (x2 )2 dxx0= 3p111= p(x - xdx = p4x-x |2510251002、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.A( x) 表示过点

6、ox 且垂直于x 轴xx + dxaxbA( x)为x 的已知连续函数b的截面面积，立体体积 V=dV= A( x)dx,A( x)dx.a三、经济应用1。已知生产某产品固定成本为c0 ,边际成本为 C(x)xC(x)dx + c0C(x) =x为产量，则总成本函数为02。已知销售某产品的边际收益为R(x)，x为销售量，xR(x)dxR(x) =则总收益函数为0Q(t)3。已知某产品总产量Q的变化率为，则tQ(x) =Q (t)dtQ(x) =（1）总产量函数为t2 Q(t)dt0t 到t 时间内的总产量（2）从12t1L(x) ，则4.已知设利润函数的变化率为（1）总利润函数为xL(x)dx

7、 - c0L(x) =0（2）从 产量x1变到x2时的利润增量为xL(x)dxL(x) =2x1例1设固定成本为50万元, R(Q) = 100 - 2Q,C(Q) = Q2= 14Q + 11,试确定厂商的最大利润例2某煤矿投资2000万建成,在时刻t的追加成本为22C(t) = 6 + 2t 3 (百万元/ 年),增加收益为R(t) = 18 - t 3试确定该矿何时停止生产方可获最大利润?最大利润为多少?四、小结求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）绕 x轴旋转一周y旋转体的体积绕 轴旋转一周 绕非轴直线旋转一周平行截面面

8、积为已知的立体的体积6 曲线y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 )，a 0 ，则当a = 时，面积S 最小 .二、求 由下列各曲线所围成的图形的面积：1、y = 1 与直线y = x 及x = 2；x2、y = x 2 与直线y = x 及y = 2 x ；3 、 r = 2a ( 2 + cosq)；4、摆线x = a(t - sin t ) , y = a(1 - cos t )(0 t 2p ) 及x 轴；5、r = 3 cosq 及r = 1 + cosq 的公共部分；+ y 3 + 3axy.6、笛卡尔叶

9、形线x 3练 习 题一、填 空题：1、由 曲线 y = e x , y = e 及y轴所围成平面区域的面积是 _ .2、由 曲线y = 3 - x 2 及直线y = 2 x 所围成平面区域的面积是 .曲 线 y = x1 - x 2 , y = 1 , x = -1 , x = 1所围成3、由 平面区域的面积是_ .4、计 算y 2 = 2 x 与y = x - 4 所围的区域面积时，选用 作变量较为简捷 .5、由 曲线 y = e x , y = e - x 与直线x = 1 所围成平面区域的面积是 .三、 求抛物线 y = - x 2 + 4 x - 3 及其在点( 0 ,-3 )和( 3 , 0 )处的切线所围成的图形的面积 .四、 求位于曲线 y = e x 下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积 .五、 求由抛物线 y 2 = 4ax 与过焦点的弦所围成的图形面积的最