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文档简介

1、原题再现-将军饮马,一、情景引入,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边 饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走路线全程最短？精通数学的、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你知道海伦是如何帮助将军解决问题的吗？,二、探索发现,1、如图，当A,B在直线 的两侧（异侧）时，在 上求一点C，使得CA+CB最小. 问：动点C应该在什么位置？确定C点的理由是什么?,为了解决上述问题，我们先思考：,c,2、如图，当A,B在直线 的

2、同侧，直线 上求一点C，使得CA+CB最小.,想一想：对比问题2和问题1，如何将点B“移”到 的另一侧B处，使得直线 上的任意一点C，都保持CB与CB的长度相等？,3、为什么这种做法是正确的？你能用所学知识证明AC+CB最短吗？,三、例题解析,例1 如图，有A、B两个村庄，他们想在河流的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流的距离BE是3km，DE长3km.请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少，为多少？,F,C,D,E,解 如图所作，C点为水泵站的位置. 依题意，得：所铺设的水管长度就是AC+BC， 即：AC+BC=AB的长度.,因为EF=A

3、D=AD=1km, 所以BF=BE+EF=4km,又AF=DE=3km 在RtABF中，AB=AF+BF 所以：解得：AB=5km,所以总费用为：51000100=500000（元）,1、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，已知居民区A、B分别距离街道1km、2km，两居民区水平距离4km，请问奶站修建在什么地方才能使得A、B到它的距离之和最短？最短距离是多少？,四、小试牛刀,C,E,F,解 如图所作，C点为奶站修建的位置. 依题意，得：A、B到奶站的距离之和就是AC+BC，即：AC+BC=AB的长度. 因为EF=AD=AD=1km, 所以BF=BE+EF=3km 又AF=DE=4km 在RtABF中，AB=AF+BF 所以：解得：AB=5km,A,D,五、拓展应用,如图（1），如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.,解析 如图（2），作A关于a的对称点A，B关于b的对称点B.根据轴对称的性质可知AC=AC，BD=BD.于是AC+CD+DB=AC+CD+DB.根据两点之间线段最短可知，C、D为所求点.,（图1）,（图2）,六、归纳小结,1、求此类最短距离问题的模型是什么？,2、在实际问题中，如何求一个动

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