平差教学课件-成晓倩-1-5协因数传播律01

1、协因数和协因数传播律,内容安排,一、协因数与协因数阵 二、权阵 三、协因数传播律 四、广义传播律在测量中的应用,协因数和协因数传播律,Cofactor & Propagation of Cofactor,1、协因数,设 方差为 ，协方差为,令：,为 的协因数,为 的协因数,为 关于 的互协因数或相关权倒数,一、协因数与协因数阵,1、协因数,一、协因数与协因数阵,协因数与权成反比，故亦为衡量精度的相对指标,当 =0，说明两观测值独立（不相关）,协 因 数 阵,一、协因数与协因数阵,2、协因数阵,n维随机向量,协因数阵的特点：,1.主对角元素 是随机变量 的协因数，即权倒数；,2.非主对角元素 是

2、随机变量 关于随机变量 的互协因数，且有 ，故协因数阵为对称阵；,3. 表明随机变量 与 独立，不相关,一、协因数与协因数阵,2、协因数阵,设有观测向量 和 ，它们的方差阵分别为 和 ， 关于 的 互协方差阵为 ，令,为 的协因数阵,为 的协因数阵,为 关于 的互协因数阵,3、互协因数阵,一、协因数与协因数阵,1. 中的元素就是 关于 的相关权倒数；,2. 为 关于 的相关权逆阵；,3.因 ，所以 ；,3、互协因数阵,几点说明：,一、协因数与协因数阵,1. 中的对角元素是各个 的权倒数，非对角元素是 关于 的相关权倒数；,2. 中的元素就是 关于 的相关权倒数；,和 为 和 的权逆阵； 为 关

3、于 的相关权逆阵；,4. 为对称阵 ， ；,几个结论：,一、协因数与协因数阵,一、协因数与协因数阵,对比记忆：,精度评定中常用的两种形式， 不仅适用于观测值还适用于观测值函数,内容安排,一、协因数与协因数阵 二、权阵 三、协因数传播律 四、广义传播律在测量中的应用,协因数和协因数传播律,Cofactor & Propagation of Cofactor,二、权阵,权阵,1. 是由独立观测值 的权 构成的对角阵。,与权逆阵（协因数阵） 互为逆阵，通常称 为 的权阵,独立观测值：,二、权阵,1.独立观测值的协因数阵 、权阵 是对角阵， 权阵主对角元素就是相应观测值的权。,2.相关观测值的协因数阵

4、 、权阵 是非对角阵， 权阵的主对角元素不再是相应观测值的权。,权阵说明：,， 也称为 的权阵。,对于相关的观测向量 仍令,相关观测值：,二、权阵,例：已知观测值向量 的权阵为 ，试求观测值 的权,解：,观测值向量的协因数阵,由协因数的定义可知：,无论观测值相关还是独立，其协因数阵 主对角元素均为相应观测值 的权倒数。,观测值权的求解方法,例题赏析,内容安排,一、协因数与协因数阵 二、权阵 三、协因数传播律 四、广义传播律在测量中的应用,协因数和协因数传播律,Cofactor & Propagation of Cofactor,设有观测值向量 和 的线性函数,根据协方差传播律：,顾及协方差阵与

5、协因数阵的关系：,化简得：,协因数传播律,广义传播律,1.线性函数,三、协因数传播律,如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数,2.非线性函数,求微分法，线性化,协因数传播律,三、协因数传播律,3.独立观测值,对于独立观测值 ，假定各 的权为 则 的权阵、协因数阵均为对角阵,若有函数,权倒数传播律,三、协因数传播律,解：,例题赏析,例：设独立观测值 的权均为 ，试求算术平均值 的权,解：,算术平均值之权等于观测值之权的n倍,例题赏析,例：设独立观测值 的权均为 ，试求 的权,解：,此时x为带权平均值， 带权平均值的权等于各观测值权之和,应用权倒数传播律：,例题赏析,解：,例题赏析,内容安排,一

6、、协因数与协因数阵 二、权阵 三、协因数传播律 四、广义传播律在测量中的应用,协因数和协因数传播律,Cofactor & Propagation of Cofactor,广义传播律在测量中的应用Applications of Generalized Propagation in Surveying,1. 由三角形闭合差计算测角中误差 Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangle 2. 用不等精度的真误差计算单位权中误差 Standard deviation of Unit

7、 Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors 3. 由双观测值之差求中误差 Mean Square Errors calculated by the difference of double observations,三角测量方法是布设水平控制网的主要方法之一,中国天文大地网,1.由三角形闭合差计算测角中误差 Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangle,二等三角网,三角形闭合差为真误差,n 个

8、三角形的 3n 个独立等精度的角度观测量,n 个独立等精度的三角形闭合差,1.由三角形闭合差计算测角中误差 Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangle,应用：三角测量外业结束后用于估计测角中误差，初步评定测角观测量的精度,广义传播律在测量中的应用Applications of Generalized Propagation in Surveying,1. 由三角形闭合差计算测角中误差 Standard deviation of angle observations ca

9、lculated by the closure error of triangle 2. 用不等精度的真误差计算单位权中误差 Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors 3. 由双观测值之差求中误差 Mean Square Errors calculated by the difference of double observations,观测值 的方差为,一组同精度独立观测值,2. 用不等精度的真误差计算单位权中误差 Standard deviation of

10、Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors,同精度独立的真误差计算中误差,数学期望、方差和权分别为: 、 和,现在设是一组不同精度的独立观测值,2. 用不等精度的真误差计算单位权中误差 Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors,问题：如何利用一组不同精度的真误差来求得单位权中误差,？,现设 是一组同精度，且权 的独立真误差：,设：,权倒数传播律：,理论值,估值,不同精度独立的

11、真误差计算单位权中误差,2. 用不等精度的真误差计算单位权中误差 Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors,广义传播律在测量中的应用Applications of Generalized Propagation in Surveying,1. 由三角形闭合差计算测角中误差 Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangle 2. 用不等精度的真误

12、差计算单位权中误差 Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors 3. 由双观测值之差求中误差 Mean Square Errors calculated by the difference of double observations,测量中，常常对一系列被观测量进行成对观测， 这种成对观测称为双观测。,设对量 ，观测两次，得独立观测值和权 ：,第一次：,第二次：,权：,和 是对同一量 的两次观测，称为一个观测对,设对内精度相同，对间精度不同。,3. 由双观测值之

13、差求中误差 Mean Square Errors calculated by the difference of double observations,两次观测值的差数：,第i对观测值平均值的方差：,观测值 和 的方差：,由权倒数传播律：,单位权方差：,3. 由双观测值之差求中误差 Mean Square Errors calculated by the difference of double observations,由双观测值之差求得单位权方差,例：设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，其结果列于下表中， 试求：（1）每公里观测高差的中误差；（2）第二段观测高差的中误差； （3）第二段高差的平均值的中误差；（4）全长一次（往测或返测）观测 高差的中误差及全长平均值的中误差,解：,（1）单位权中误差（每公里观测高差的中误差）为,例题赏析,（2）第二段观测高差的中误差为,（3）第二段高差平均值的中误差为,例题赏析,（4）全长一次观测高差的中误差为,全长高差平均值的中误差为,例题赏析,内 容 小 结,1.协因数传播律：,2.协因数传播律的