全国名校高中数学题库--解析几何

1、一、选择题一、选择题 1.1.（辽宁理，（辽宁理，4 4）已知圆 C 与直线 xy=0 及 xy4=0 都相切，圆心在直线 x+y=0 上，则 圆 C 的方程为 A. 22 (1)(1)2xy B. 22 (1)(1)2xy C. 22 (1)(1)2xy D. 22 (1)(1)2xy 【解析】圆心在 xy0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离 等于半径即可. 2 【答案】B 2.2.（重庆理，（重庆理，1 1）直线1yx与圆 22 1xy的位置关系为（ ） A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离 【解析】圆心(0,0)为到直线1yx，即10 xy

2、 的距离 12 22 d ，而 2 01 2 ，选 B。 【答案】B 3.（重庆文，（重庆文，1 1）圆心在y轴上，半径为 1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A 22 (2)1xy B 22 (2)1xy C 22 (1)(3)1xyD 22 (3)1xy 解法解法 1（直接法）：设圆心坐标为(0, )b，则由题意知 2 (1)(2)1ob，解得 2b ，故圆的方程为 22 (2)1xy。 解法解法 2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为 1 易知圆心为（0，2） ，故 圆的方程为 22 (2)1xy 解法解法 3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除 B，D，又

3、由于圆心在y轴上， 排除 C。 【答案】A 4.（上海文，上海文，17）点 P（4，2）与圆 22 4xy上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A. 22 (2)(1)1xy B. 22 (2)(1)4xy C. 22 (4)(2)4xyD. 22 (2)(1)1xy 【解析】设圆上任一点为 Q（s，t） ，PQ 的中点为 A（x，y） ，则 2 2 2 4 t y s x ，解得： 22 42 yt xs ，代入圆方程，得（2x4）2（2y2）24，整理，得： 22 (2)(1)1xy 【答案】A 5. （上海文，上海文，15）已知直线 12 :(3)(4)10,:2(3)230,lkxk

4、ylkxy 与平 行，则 k 得值是（ ） A. 1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 【解析】当 k3 时，两直线平行，当 k3 时，由两直线平行，斜率相等，得： k k 4 3 k3，解得：k5，故选 C。 【答案】C 6. (上海文，上海文，18)过圆 22 (1)(1)1C xy：的圆心，作直线分 别交 x、y 正半轴于点 A、B，AOB被圆分成四部分（如图） ， 若这四部分图形面积满足 |, SSSS 则直线 AB 有（ ） （A） 0 条 （B） 1 条 （C） 2 条 （D） 3 条 【解析】由已知，得：, IVIIIIII SSSS，第 II，IV 部分的

5、面 积是定值，所以， IVII SS为定值，即, IIII SS为定值，当直线 AB 绕着圆心 C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB 只有一条，故选 B。 【答案】B 7.（陕西理，（陕西理，4）过原点且倾斜角为60的直线被圆学 22 40 xyy所截得的弦长为科网 A.3 B.2 C.6 D.23 2222 4024 32 3 xyyxy 解析：（）， A(0, 2), O A=2, A到直线O N 的距离是1,O N =弦长 【答案】D 二、填空题二、填空题 8. （广东文，（广东文，13）以点（2，1）为圆心且与直线6xy相切的圆的方程是 . 【解析】将直线6xy化为60

6、xy,圆的半径 |2 1 6|5 1 12 r , 所以圆的方程为 22 25 (2)(1) 2 xy 【答案】 22 25 (2)(1) 2 xy 9.（天津理，（天津理，13）设直线 1 l的参数方程为 1 1 3 xt yt （t 为参数） ，直线 2 l的方程为 y=3x+4 则 1 l与 2 l的距离为_ 【解析】由题直线 1 l的普通方程为023 yx，故它与与 2 l的距离为 5 103 10 |24| 。 【答案】 5 103 10. （天津文，（天津文，14）若圆4 22 yx与圆)0(062 22 aayyx的公共弦长为 32，则 a=_. 【解析】由已知，两个圆的方程作差

7、可以得到相交弦的直线方程为 a y 1 ， 利用圆心（0，0）到直线的距离 d 1 | 1 | a 为132 2 2 ，解得 a=1. 【答案】1 11.（全国（全国文文 16）若直线m被两平行线 12 :10:30lxylxy 与所截得的线段 的长为22，则m的倾斜角可以是 15 30 45 60 75 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】解：两平行线间的距离为2 11 |13| d，由图知直线m与 1 l的夹角为 o 30， 1 l的倾斜角为 o 45，所以直线m的倾斜角等于 00 754530 o 或 00 153045 o 。 【答案】 12.（全国全国理理 1

8、6）已知ACBD、为圆O: 22 4xy的两条相互垂直的弦，垂足为 1,2M,则四边形ABCD的面积的最大值为 。 【解析】设圆心O到ACBD、的距离分别为 12 dd、,则 222 12 3ddOM+. 四边形ABCD的面积 2222 1212 1 | | 2 (4)8()5 2 SABCDdddd)(4- 【答案】5 13.（全国全国文文 15）已知圆 O：5 22 yx和点 A（1，2） ，则过 A 且与圆 O 相切的直线 与两坐标轴围成的三角形的面积等于 【解析】由题意可直接求出切线方程为 y-2= 2 1 (x-1)，即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上 的截距分别是 5 和

9、2 5 ，所以所求面积为 4 25 5 2 5 2 1 。 【答案】 25 4 14.（湖北文（湖北文 14）过原点 O 作圆 x2+y2-6x8y20=0 的两条切线，设切点分别为P、Q， 则线段PQ的长为 。 【解析】可得圆方程是 22 (3)(4)5xy 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定 理得4PQ . 【答案】4 15.（江西理（江西理 16） 设直线系: cos(2)sin1(02 )M xy,对于下列四个命题： AM中所有直线均经过一个定点 B存在定点P不在M中的任一条直线上 C对于任意整数(3)n n ，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 DM中的直线所能围成的正三角形

10、面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 【解析】因为cos(2)sin1xy所以点(0,2)P到M中每条直线的距离 22 1 1 cossin d 即M为圆C: 22 (2)1xy的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线, 所以 A 错误； 又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以 B 正确； 对任意3n ,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确； M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故 D 错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】,B C 三、解答题三、解答题 16.（2009 江苏卷江苏卷 18） （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xo

11、y中，已知圆 22 1:( 3)(1)4Cxy和圆 22 2:( 4)(5)4Cxy. （1）若直线l过点(4,0)A，且被圆 1 C截得的弦长为2 3，求 直线l的方程； （2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂 直的直线 1 l和 2 l，它们分别与圆 1 C和圆 2 C相交，且直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等，试求所有满足 条件的点 P 的坐标。 解解 (1)设直线l的方程为：(4)yk x，即40kxyk 由垂径定理，得：圆心 1 C到直线l的距离 22 2 3 4()1 2 d ， 结合点到直线距离公式，得： 2 |

12、31 4 | 1, 1 kk k 化简得： 2 7 2470,0, 24 kkkor k 求直线l的方程为：0y 或 7 (4) 24 yx ，即0y 或724280 xy (2) 设点 P 坐标为( , )m n，直线 1 l、 2 l的方程分别为： 1 (),()ynk xmynxm k ，即： 11 0,0kxynkmxynm kk 因为直线 1 l被圆 1 C截得的弦长与直线 2 l被圆 2 C截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得：圆心 1 C到直线 1 l与 2 C直线 2 l的距离相等。 故有： 2 2 41 |5| | 31| 1 1 1 nm knkm kk k k

13、， 化简得：(2)3,(8)5mn kmnmnkmn或 关于k的方程有无穷多解，有： 20, 30 mn mn m -n+8=0 或 m +n-5=0 解之得：点 P 坐标为 3 13 (,) 2 2 或 51 ( ,) 22 。 2005200520082008 年高考题年高考题 一、选择题 1.（20082008 年全国年全国理理 1111）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20 xy与 x-7y- 4=0, 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）. A3 B2 C 1 3 D 1 2 答案答案 A 解析解析 1, 02: 11 kyxl， 7 1 , 047: 22 ky

14、xl，设底边为kxyl: 3 由题意， 3 l到 1 l所成的角等于 2 l到 3 l所成的角于是有 37 17 1 1 11 2 2 1 1 k k k kk kk kk kk 再将 A、B、C、D 代入验证得正确答案 是 A。 2.（20082008 年全国年全国文文 3 3）原点到直线052yx的距离为（ ） A1 B3 C2 D5 答案答案 D 解析解析 5 21 5 2 d。 3. .（20082008 四川四川）将直线3yx绕原点逆时针旋转 0 90，再向右平移个单位长度，所得 到的直线为 ( ) A. 11 33 yx B. 1 1 3 yx C.33yxD. 1 1 3 yx

15、答案答案 A 4.（20082008 上海上海 1515）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴 分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界） ，A、B、C、D是该圆的四等分 点若点()P xy，、点()P xy，满足x x 且y y ，则称P优于 P 如果中 的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 （ ） BC D 答案答案 D 5.（20072007 重庆文）重庆文）若直线 与圆1 22 yx相交于P、Q两点，且POQ120（其中O为 原点） ，则k的值为 （ ） A.-3或3 B.3 C.-2或2 D.2 答案答案 A 6.（200

16、72007 天津文）天津文） “2a ”是“直线20axy平行于直线1xy”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案答案 C 7 （20062006年江苏）年江苏）圆1)3() 1( 22 yx的切线方程中有一个是 （ ） A.xy0B.xy0C.x0 D.y0 答案答案 C 8. （20052005 湖南文）湖南文）设直线的方程是0 ByAx，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两 个不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是（ ） A20 B19C18 D16 答案答案 C C 9. (2005(2005 全国全国文文) )

17、设直线l过点)0 , 2(，且与圆1 22 yx相切，则l的斜率是 AB l C 工 （ ） A.1B. 2 1 C. 3 3 D.3 答案答案 C 10.（20052005 辽宁）辽宁）若直线02cyx按向量) 1, 1 ( a平移后与圆5 22 yx相切， 则 c 的值为 （ ） A8 或2B6 或4C4 或6D2 或8 答案答案 A 11.（20052005 北京文）北京文） “m= 2 1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m2)x+(m+2)y3=0 相互垂 直”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案答案

18、 B 二、填空题二、填空题 12. （20082008 天津文天津文 1515， ）已知圆C的圆心与点( 2,1)P 关于直线 y=x+1 对称，直线 3x+4y- 11=0 与圆C相交于BA,两点，且6AB，则圆C的方程为_. 答案答案 22 (1)18xy 13.（20082008 四川文四川文 1414）已知直线:40l xy与圆 22 :112Cxy，则C上各 点到l的距离的最小值为_. 答案答案 2 14.（20082008 广东理广东理 1111）经过圆 22 20 xxy的圆心C，且与直线0 xy垂直的直线 程是 答案答案 10 xy 15.（20072007 上海文）上海文）如

19、图，AB，是直线l上的两点，且2AB两个半径相等的动圆分 别与l相切于AB，点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图 形面积S的取值范围是 答案答案 2 2 , 0 16.（2007 湖南理）湖南理）圆心为(11)，且与直线4xy相切的圆的方程是 答案答案 (x-1)2+(y-1)2=2 17. ( ( 20062006重庆理重庆理) )已知变量x,y满足约束条件1x+y4,-2x-y2.若目标函数 z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为_. 答案答案 a1 18.（20052005 江西）江西）设实数 x,y 满足的最大值是则 x y y y

20、x yx , 032 042 02 . 答案答案 2 3 第二部分第二部分 三年联考汇编三年联考汇编 20092009 年联考题年联考题 一、选择题一、选择题 1.( (西南师大附中高西南师大附中高 20092009 级第三次月考级第三次月考) )“a= 3”是“直线210axy 与直线 640 xyc平行”的（ ）条件 A充要B充分而不必要 C必要而不充分 D既不充分也不必要 答案答案 C C 2.( (重庆市大足中学重庆市大足中学 20092009 年高考数学模拟试题年高考数学模拟试题) )直线 x+y+1=0 与圆21 2 2 yx的位 置关系是 （ ） A.相交 B.相离 C.相切 D

21、.不能确定 答案答案 C 3.( (西南师大附中高西南师大附中高 20092009 级第三次月考级第三次月考) )两圆 32cos3cos 42sin3sin xx yy 与的位置关系 是（ ） A内切B外切C相离D内含 答案答案 B 4. ( (西南师大附中高西南师大附中高 20092009 级第三次月考级第三次月考) )已知点 P（x，y）是直线 kx+y+4 = 0（k 0） 上一动点，PA、PB 是圆 C： 22 20 xyy的两条切线，A、B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为 （ ） A3B 21 2 C2 2D2 答案答案 D 5. (福建省南安一中、安

22、溪一中、养正中学福建省南安一中、安溪一中、养正中学 2009 届高三期中联考届高三期中联考)已知实系数方程 x2+ax+2b=0, 的一个根大于 0 且小于 1，另一根大于 1 且小于 2，则 2 1 b a 的取值范围是 （ ） A （ ，1）B （ ，） （ ，） （，） 1 4 1 2 1 2 1 4 1 3 答案答案 A 6.(广东省华南师范附属中学广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试届高三上学期第三次综合测试)点(4, ) t到直线 431xy的距离不大于 3，则t的取值范围是 （ ） A 131 33 t B100t C100tD0t或10t 答案答案 C

23、7. (四川省成都市四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试届高三入学摸底测试)已知圆的方程为 22 680 xyxy，设圆 中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为( ) A.1 B.0 C. 1 D.2 答案答案 B 8.(湖南省长郡中学湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考届高三第二次月考)直线) 1(1:xkyl和圆02 22 yyx 的关系是 （ ） A.相离B.相切或相交C.相交D.相切 答案答案 C 9. (福建省宁德市福建省宁德市 2009 届高三上学期第四次月考届高三上学期第四次月考)过点)2 , 1 (M的直线l将圆(x-2)2+

24、y2=9 分 成 两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是（ ） A1x B1y C01 yx D032yx 答案答案 D 二、填空题二、填空题 10. .(广东省华南师范附属中学广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试届高三上学期第三次综合测试)从圆(x-1)2+(y-1)2=1 外一 点(2,3)P向这个圆引切线，则切线长为 答案答案 2 11.(江苏省赣榆高级中学江苏省赣榆高级中学 2009 届高三上期段考届高三上期段考)直线032yx与直线 04byax 关于点)0 , 1 (A对称，则 b_。 答案答案 2 12.(湖南省长郡中学湖南省长郡中学 2009 届高三

25、第二次月考届高三第二次月考)过点 C(,-)作圆25 22 yx的切线，切 点为 A、B，那么点 C 到直线 AB 的距离为_。 答案答案 2 5 13. . (四川省成都市四川省成都市 20082009 学年度上学期高三年级期末综合测试学年度上学期高三年级期末综合测试)光线由点 P(2,3)射到 直线1 yx上,反射后过点 Q(1,1),则反射光线方程为 . 答案答案 4x5y10 14. .(安徽省巢湖市安徽省巢湖市 2009 届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测)过) 1 , 2 1 (M的直线 l 与圆 C：(x-1) 2+y2=4 交于 A、B 两点，当ACB 最小时，直

26、线的方程为 . 答案答案 0342yx 2007200720082008 年联考题年联考题 一、选择题一、选择题 1. (四川省巴蜀联盟四川省巴蜀联盟 2008 届高三年级第二次联考届高三年级第二次联考)已知点 A（3,2） ，B（-2,7） ，若直线 y=ax-3 与线段 AB 的交点 P 分有向线段 AB 的比为 4:1，则 a 的值为 （ ） A3B-3C9D-9 答案答案 D D 2.(北京市丰台区北京市丰台区 2008 年年 4 月高三统一练习一月高三统一练习一)由直线1yx上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1 引切线，则切线长的最小值为( ) A.17 B.3 2 C.19 D

27、.2 5 答案答案 A A 3. .(北京市西城区北京市西城区 2008 年年 5 月高三抽样测试月高三抽样测试)圆2 2 1 1 y x 被直线0 xy分成两段圆弧， 则较短弧长与较长弧长之比为（ ） A12 B13 C14 D15 答案答案 B 4.(广东省汕头市澄海区广东省汕头市澄海区 2008 年第一学期期末考试年第一学期期末考试)直线yxb平分圆 x2+y2-8x+2y-2=0 的周长，则b （ ） A3 B5C3 D5 答案答案 D 5.(安徽省合肥市安徽省合肥市 2008 年高三年级第一次质检年高三年级第一次质检)把直线20 xy按向量(2,0)a 平移 后恰与 22 4220

28、xyyx相切，则实数的值为（ ） A 2 2 或2 B2或2 C 2 2 或 2 2 D 2 2 或2 答案答案 C 6.（2007 岳阳市一中高三数学能力题训练）岳阳市一中高三数学能力题训练） 若圆 222 5()3(ryx）上有且仅有两个 点到直线 4x3y2=0 的距离为 1，则半径 r 的取值范围是（ ） A.（，6）.，）.（， .， 答案答案 A 7. (2007(2007 海淀模拟海淀模拟) )已知直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0)与圆 x2+y2=50 有公共点，且公共点横、 纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）条 A.66 B.72 C.74 D.78 答案答案

29、 C 二、填空题二、填空题 7.(甘肃省兰州一中甘肃省兰州一中 2008 届高三上期期末考试届高三上期期末考试)光线从点 P（3，5）射到直线 l:3x-4y+4=0 上，经过反射，其反射光线过点 Q（3，5） ，则光线从 P 到 Q 所走过的路程为 . 答案答案 8 8.(河北省正定中学河北省正定中学 2008 年高三第四次月考年高三第四次月考)圆 ( sin1 cos1 y x 为参数）的标准方程 是 ，过这个圆外一点 P2,3的该圆的切线方程是 。 答案答案 (x1)2(y1)21；x2 或 3x4y60 9. (湖北省鄂州市湖北省鄂州市 2008 年高考模拟年高考模拟)与圆 22 (2

30、)1xy相切，且在两坐标轴上截距相等 的直线共有_条. 答案答案 4 10.(湖南省长沙市一中湖南省长沙市一中 2008 届高三第六次月考届高三第六次月考)设直线03 yax与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于 A、B 两点，且弦长为32，则 a= 。 答案答案 0 11. (江苏省泰兴市江苏省泰兴市 20072008 学年第一学期高三调研学年第一学期高三调研)设直线 1 l的方程为022yx， 将直线 1 l绕原点按逆时针方向旋转 90得到直线 2 l，则 2 l的方程是 答案答案 2xy20 12.(2007.(2007 石家庄一模石家庄一模) )若5xkx+2 对一切 x5 都成立

31、，则 k 的取值范围是_. 答案答案 k1/10 或 k0）过 M（2，2） ，N (6,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAOB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆 E: 22 22 1 xy ab （a,b0）过 M（2，2） ，N (6,1)两点, 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy （2）假

32、设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OAOB ,设该圆的切线方程为ykxm解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2()8xkxm, 即 222 (12)4280kxkmxm, 则= 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 222222 222 12121212 222 (28)48 ()()() 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使OAOB ,需使 1212

33、 0 x xy y,即 222 22 288 0 1212 mmk kk ,所以 22 3880mk,所 以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km,所以 2 2 2 38 m m ,所以 2 8 3 m ,即 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 2 1 m r k , 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk , 2 6 3 r ,所求的圆为 22 8 3 xy,此时圆的切 线ykxm都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的

34、两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 满足 OAOB ,综上, 存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒 有两个交点 A,B,且OAOB . 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 所以 222 222 121212 2222 4288(84) ()()4()4 1212(12) kmmkm xxxxx x kkk , 22 2 2222 121212 22 8(84) |()(1)()(1) (12) km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 3

35、4413441 kkk kkkk , 当0k 时 2 2 321 |1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k , 所以 2 2 32321 112 1 33 44k k , 所以 4 6 | 2 3 3 AB当且仅当 2 2 k 时取”=”. 当0k 时, 4 6 | 3 AB . 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 , 所以此时 4 6 | 3 AB , 综上, |AB |的取值范围为 4 6 | 2 3 3 AB即: 4 | 6,2 3 3 AB 【命题立意】:

36、本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭 圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有 关参数问题以及方程的根与系数关系. 47. (2009 山东卷文)（本小题满分 14 分） 设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amx y ,向量( ,1)bx y ,ab ,动点 ( , )M x y的轨迹为 E. （1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知 4 1 m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 点 A,B,且OAOB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)

37、已知 4 1 m,设直线l与圆 C: 222 xyR(1R2)相切于 A1,且l与轨迹 E 只有一个公共 点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解解（1）因为ab ,(,1)amx y ,( ,1)bx y , 所以 22 10a bmxy , 即 22 1mxy. 当 m=0 时,方程表示两直线,方程为1y; 当1m 时, 方程表示的是圆 当0m且1m时,方程表示的是椭圆; 当0m时,方程表示的是双曲线. (2).当 4 1 m时, 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt, 解方程组 2 2 1 4 ykxt x y 得

38、22 4()4xkxt,即 222 (14)8440kxktxt, 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使= 2 22222 6416(14)(1)16(41)0k tktkt, 即 22 410kt ,即 22 41tk, 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 (44)84 ()()() 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk , 要使OAOB , 需使 1212 0 x xy y,即 22222 222 444544 0 141414 ttkt

39、k kkk , 所以 22 5440tk, 即 22 544tk且 22 41tk, 即 22 44205kk恒成立. 所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 2 1 t r k , 2 2 2 22 4 (1) 4 5 115 k t r kk , 所求的圆为 22 4 5 xy. 当切线的斜率不存在时,切线为5 5 2 x,与 2 2 1 4 x y交于点)5 5 2 ,5 5 2 (或 )5 5 2 ,5 5 2 (也满足OAOB. 综上, 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB . (3)当

40、 4 1 m时,轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y,设直线l的方程为ykxt,因为直线l与圆 C: 222 xyR(1R0）与 x 轴 的左、右两个交点，直线l过点 B,且与x轴垂直，S 为l上 异于点 B 的一点，连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧AAB的三等分点，试求出点 S 的坐标； （II）如图，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在a,使得 O,M,S 三 点共线？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由。 解解 方法一方法一 ()当曲线 C 为半圆时，1,a 如图，由点 T 为圆弧AAB的三等分点得B

41、OT=60或 120. (1)当BOT=60时, SAE=30. 又 AB=2,故在SAE 中,有tan30,( ,);SBABs t (2)当BOT=120时,同理可求得点 S 的坐标为(1,2 3) ,综上, 2 3 (1,) 3 S或S(1, 2 3) ()假设存在(0)a a ,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上,故BTOS. 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k0,可设直线 AS 的方程为()yk xa. 由 2 2 22222422 2 1 (1)20 () x y a kxa k xa ka a yk xa 得 设点 222 22 (,),()

42、, 1 TTT a ka T xyxa a k 故 22 22 1 T aa k x a k ,从而 22 2 () 1 TT ak yk xa a k . 亦即 22 2222 2 (,). 11 aa kak T a ka k 22 2222 22 ( ,0),(,) 11 a kak B aBT a ka k 由 () xa yk xa 得( ,2),( ,2).s aakOSaak 由BTOS,可得 2222 2 24 0 12 a ka k BT OS a k 即 2222 240a ka k 0,0,2kaa 经检验,当2a 时,O,M,S 三点共线. 故存在2a ,使得 O,M,

43、S 三点共线. 方法二方法二: ()同方法一. ()假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上,故SMBT. 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k0,可设直线 AS 的方程为()yk xa 由 2 2 22222222 2 1 (1)20 () x y a bxa k xa ka a yk xa 得 设点(,) TT T xy,则有 422 22 (). 1 T a ka xa a k 故 2222 22222222 22 ,()(). 111 TTT aa kakaa kak xyk xaT aa ka ka ka k 从而亦即 2 2 1 ( ,0

44、), T BTSM T y B akka k xaa k 故 由 () xa yk xa 得S(a, 2ak),所直线 SM 的方程为 2 2()yaka k xa O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上,即 2 2()aka ka. 0,0,2aKa 故存在2a ,使得 O,M,S 三点共线. 60.（2009 辽宁卷文、理） （本小题满分 12 分） 已知，椭圆C以过点A（1， 3 2 ） ，两个焦点为（1，0） （1，0） 。 （1）求椭圆C的方程； （2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直 线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 （）

45、解解 由题意，c1,可设椭圆方程为 22 22 1 14 xy bb 。 因为A在椭圆上，所以 22 19 1 14bb ，解得 2 b3， 2 b 3 4 （舍去） 。 所以椭圆方程为 22 1 43 xy （）证明证明 设直线方程：得 3 (1) 2 yk x，代入 22 1 43 xy 得 222 3 3+4+4 (32 )4()120 2 kxkk xk（） 设（ E x， E y） ，（ F x， F y） 因为点（1， 3 2 ）在椭圆上， 所以 2 2 3 4()12 2 34 E k x k ， 3 2 EE ykxk。 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k

46、，可得 2 2 3 4()12 2 34 F k x k ， 3 2 FF ykxk 。 所以直线EF的斜率 ()21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk k xxxx 。 即直线EF的斜率为定值，其值为 1 2 。 61.（2009 宁夏海南卷理） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 s 轴上，它的一个顶点到两个焦点 的距离分别是 7 和 1. （）求椭圆 C 的方程； （）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， OP OM =，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解解 ()设椭圆长半轴长

47、及半焦距分别为ac，由已知得 1 ,4,3 7 ac ac ac 解得， 所以椭圆C的标准方程为 22 1 167 xy （）设( , )M x y，其中4,4x 。由已知 2 2 2 OP OM 及点P在椭圆C上可得 2 2 22 9112 16() x xy 。 整理得 2222 (169)16112xy，其中4,4x 。 （i） 3 4 时。化简得 2 9112y 所以点M的轨迹方程为 4 7 ( 44) 3 yx ，轨迹是两条平行于x轴的线段。 （ii） 3 4 时，方程变形为 22 22 1 112112 16916 xy ，其中4,4x 当 3 0 4 时，点M的轨迹为中心在原点、

48、实轴在y轴上的双曲线满足44x 的部 分。 当 3 1 4 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足44x 的部分； 当1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆； 62.（2009 陕西卷文） （本小题满分 12 分） 已知双曲线 C 的方程为 22 22 1(0,0) yx ab ab ，离心率 5 2 e ，顶点到渐近线的距离 为 2 5 5 。 （1）求双曲线 C 的方程； (2)如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、 二象限，若 1 , ,2 3 APPB ，求AOB面积的取值范围。 方法一方法一 解解（）由题意知，

49、双曲线C的顶点（0，a）到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为， 所以 22 2 5 5 ab ab 所以 2 5 5 ab c 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c cab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x （）由（）知双曲线 C 的两条渐近线方程为2yx 设( ,2 ),2 ),0,0A mm Bnn mn（ 由,),APPBP uu u ruur m - n 2(m + n) 得点的坐标为（ 1+1+ 将 P 点的坐标代入 22 2 (1) 1, 44 y x 化简得m n= 因为2 ,AOB 14 tan()2,tan,sin2 2

50、25 又5 ,5OAm OBn 所以 111 sin22() 1 22 AOB SOAOBmn 记 111 ( )() 1, ,2 23 S 则 2 11 ( )(1) 2 S 由( )01S得 又 S（1）=2， 189 ( ), (2) 334 SS 当1时，AOB面积取到最小值2，当当 1 3 时，AOB面积取到最大值 8 3 所以AOB面积范围是 8 2, 3 方法二方法二（）由题意知，双曲线 C 的顶点（0，a）到渐近线 2 5 0 5 axby 的距离为， 22 2 52 5 55 abab c ab 即 由 222 2 5 5 2 5 1 2 5 ab c a c b a c c

51、ab 得 所以曲线C的方程是 2 y 4 2 1x. （）设直线 AB 的方程为,ykxm 由题意知2,0km 由 2 ,), 222 ykxm mm A yxkk 得点的坐标为（ 由 2 ,), 222 ykxm mm B yxkk 得点的坐标为（ 121 ,(),() 122122 mm APPBP kkkk 得点的坐标为（ uu u ruur 将 P 点的坐标代入 2 1x 2 y 4 得 22 2 4(1) 4 m k 设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m） AOB S= AOQBOQ SS . 2 2 111 () 222 114 () 2222 4 1

52、1 () 1 2 ABAB OQ xOQ xm xx mmm m kkk gg g 63.（2009 四川卷文、理） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 2 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 FF、，离 心率 2 2 e ，右准线方程为2x 。 （I）求椭圆的标准方程； （II）过点 1 F的直线l与该椭圆交于MN、两点，且 22 2 26 3 F MF N ，求直线l的 方程。 解解 （I）由已知得 2 2 2 2 c a a c ，解得2,1ac 22 1bac 所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y . （II）由（I）得 1( 1,0) F、 2(1,0)

53、F 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为1 x，由 2 2 1 1 2 x x y 得 2 2 y 设 2 ( 1,) 2 M、 2 ( 1,) 2 N， 22 22 ( 2,)( 2,)( 4,0)4 22 F MF N，这与已知相矛盾。 若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为(1)yk x， 设 11 ( ,)M x y、 22 (,)N xy， 联立 2 2 (1) 1 2 yk x x y ，消元得 2222 (12)4220kxk xk 22 1212 22 422 , 1212 kk xxx x kk ， 1212 2 2 (2) 12 k yyk xx k

54、 ， 又 211222 (1,),(1,) F MxyF Nxy 221212 (2,) F MF Nxxyy 2 2 2 22 221212 22 8222 26 (2)() 12123 kk F MF Nxxyy kk 化简得 42 4023170kk 解得 22 17 1 40 或(舍去) kk 1 k 所求直线l的方程为11或 yxyx 64.（2009 全国卷文） （本小题满分 12 分） 如图，已知抛物线 2 :E yx与圆 222 :(4)(0)Mxyrr相交于 A、B、C、D 四个点。 （）求 r 的取值范围 （）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点

55、P 的坐标。 解：解：（）将抛物线 2 :E yx代入圆 222 :(4)(0)Mxyrr的方程， 消去 2 y，整理得 22 7160 xxr 抛物线 2 :E yx与圆 222 :(4)(0)Mxyrr相交于A、B、C、D四个点的充要 条件是：方程（1）有两个不相等的正根 016 07 0)16(449 2 21 21 2 rxx xx r 即 44 2 5 2 5 r rr或或 。 解这个方程组得4 2 5 r 15 (,4) 2 r. （II）设四个交点的坐标分别为 11 ( ,)A xx、 11 ( ,)B xx、 22 (,)C xx、 22 (,)D xx。 则由（I）根据韦达定理有 2 1212 7,16xxx xr，