13.4最短路径问题课件.ppt

1、两点的所有连线中，_最短；,线段, 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_最短。,垂线段,知识回顾,思考：,我们研究过以上这两个问题，我们称它们为最短路径问题同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径。,人教版八年级上册,13.4 课题学习 最短路径问题,问题1相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军

2、饮马 问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？,思考：现在假设点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？,A,B,P,方法：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求。,l,情形一：已知两点在直线异侧,思考：如果点A，B分别是直线l同侧的两点，又应该如何解决？,情形二：已知两点在直线同侧,问题1 牧马人到笔直的河边饮水，可以近似看成一条直线，假设到C点饮水，要保证所走的路径最短和那些线段有关？,C,设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）,情形

3、二：已知两点在直线同侧,追问1对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB的长度 相等？,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,情形二：已知两点在直线同侧,C,追问2你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B吗？,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,情形二：已知两点在直线同侧,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B； （2）连接AB，与直线l 相交

4、 于点C 则点C 即为所求,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,情形二：已知两点在直线同侧,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,情形二：已知两点在直线同侧,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不 重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,情形二：已知两点在直线同侧,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：在ABC中， AB

5、AC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,情形二：已知两点在直线同侧,总结方法：找到其中某一点关于直线的对称点，将对称点与另一点相连，与直线的交点即为所求。,思考：你能总结出这种在直线同侧的方法吗？,情形二：已知两点在直线同侧,问题2(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）,M,N,A,B,a,b,我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M,思考：,（1）要保证路径最短就是要使哪些线段的和最小？,AM+MN

6、+NB,M,N,A,B,a,b,（2）无论点M,N在什么位置，MN的长度是否发生变化？为什么？,由此说明MN的长度是一个定值，要保证AM+MN+NB的和最小，也即是要保证AM+NB的和最小。,（3） 能否通过图形的变化（轴对称、平移等），像问题1一样，将图形变换到一条线段上？,M,N,A,B,a,b,A,如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N,点A移动到点A,则AA=MN，AM+NB=AN+NB,也即是求点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,M,N,A,B,a,b,A,如图，过点A作直线a的垂线，在垂线上截取AA等于河的宽度，连接A，B,则其就为最短。此时，线段AB与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN,所得路径AMNB是最短的。,你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？,M,N,A,B,a,b,A,M,N,证明：如图，在直线l 上任取一点N（与点C 不 重合），过点N作N Ma,连接AM， AN ，NB AB AN + NB AN+NB A M+NB 又 AM=AN AM+NB A M+NB 又MN=