高一数学教案：函数及其图象复习

1、标题 函数及其图象全章复习课(二 ) 内容 教学目标复习正比例函数、反比例函数的图象和性质；复习一次函数的图象和性质；复习二次函数的图象和性质 .教学重点和难点重点：二次函数的图象、性质和应用.难点：灵活运用二次函数的图象和性质解题.(像求函数的最大值、最小值及图象解法等)教学过程设计( 一) 复习提要在复习时，要掌握以下十七个概念及有关知识.1. 正比例函数的概念；2. 正比例函数的图象；3. 正比例函数的性质 .4. 反比例函数的概念；5. 反比例函数的图象；6. 反比例函数的性质 .7. 一次函数的概念；8. 一次函数的图象和性质；9. 方程 Ax+By+C=0 的图象 .10. 二次函

2、数的概念；11. 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和性质；12. 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象和性质；13. 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的的图象的顶点坐标公式，对称轴方程；14. 二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象的画法；15. 根据已知条件求二次函数的解析式；16. 求二次函数 y=ax 2 +bx+c 的最大值、最小值 .*17.用图象法解二次不等式 .( 二) 复习课的例题例 1已知 a ， b 是常数，且y+b 与 x+a 成正比例 . 求证： y 是 x 的一次函数 .分析：应写出 y+b与 x+a成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一

3、次函数定义.证明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中 k 0.整理，得 y=kx+(ka b).因为 k 0 且 ka b 是常数，故y=kx+(ka b) 是 x 的一次函数式 .例 2填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a 0，b 0 且 bc 0 ，则此直线经过第象限 .a xc分析：先把ax+by+c=0化为bba0,a0. 因为 a 0 ， b 0 ，所以 bb.ccac又 bc 0 ，即 b 0 ，故b 0. 相当于在一次函数 y=kx+l 中， k= b 0 ， l= b 0，c此直线与y 轴的交点 (0 ， b) 在 x 轴上方 . 且此直线的向上方向与x 轴正方向所成角

4、是钝角，第 1页共 8页所以此直线过第一、二、四象限.1例 3一次函数图象与反比例函数y= x 的图象的交点坐标分别是P(m ， 4) ， Q( 1， m)1(A)y=4x+3 (B)y= 4x+3 (C)y=4 x+3 (D)y=4x 31分析：把 P ， Q 两点坐标代入反比例函数式y= x ，得即 P 点坐标是(14 ，4) ， Q 点坐标是 ( 1， 1).设一次函数式的解析式是y=kx+b.把 P， Q坐标代入，得. 所求直线为 y=4x+3.先 (A).k例 4把反比例函数y= x 与二次函数 y=kx 2 (k 0) 画在同一个坐标系里，正确的是( ).答：选 (D). 这两个函

5、数式中的k 的正、负号应相同( 图 13 110).例 5对于二次函数y=x 2 2ax+2a+3.分别满足下列条件，求系数a 的值 .(1) 图象与 x 轴没有交点；(2) 函数式为完全平方；(3) 函数的最小值为零；(4)当 x 5 时， y 随 x 增大而增大，且x 5 时， y 随 x 增大而减小；(5) 图象的顶点位置最高，并求这个顶点的坐标；(6) 图象在 x 轴上截得的线段长是 3.解：(1) 令 y=0 ，则二次函数 y=x 2 2ax+2a+3变为二次方程 x 2 2ax+2a+3=0.函数图象与 x轴没有交点，相当于二次方程没有实数解.由 =( 2a)2 4(2a+3)=4

6、(a2 2a 3). 令 0，即 a 2 2a 3 0.用图象法解此二次不等式 . 设 y=a2 2a 3( 这里把 a 看作自变量 ).此图象与横轴交点的横坐标是方程a 2 2a 3=0 的解 . 即 a 1 =3 ，a 2 = 1.使函数 y=a 2 2a 3的纵坐标为负值， 即图象在横轴下方，这时的横坐标 a 应满足1 a 3， ( 图 13 111).所以 1 a 3 时，y=x 2 2ax+2a+3的图象与 x 轴没有交点；(2) 对于二次三项式 ax 2 +bx+c(a 0) ，当且仅当 b2 4ac=0第 2页共 8页时， ax 2 +bx+c=a(x x 1 )(x x 2 )

7、=a (x x 1 ) 2 ，这个二次三项式是完全平方. 由=(2) 2 4(2a+3)=0，得 a 1 =3 ， a 2 = 1. 故 a=3或 a= 1时 y=x 2 2ax+2a+3 是完全平方；(3)把函数 y=x 2 2ax+2a+3配方成 y=(x+h)2+k 的形式， y=x 2 2ax+a 2 +( a2 +2a+3)=(xa) 2 +( a 2 +2a+3).因为 y(x a)2 +( a 2 +2a+3) a 2+2a+3.所以 y 最小值是a 2+2a+3.由已知最小值为 0 ，令 a 2 +2a+3=0，得 a=3 ， a= 1;2a(4)由已知可知，此图象的对称轴为5

8、，即2 1 =5 ，得 a=5 ；(5)要使图象的顶点位置最高，应求顶点纵坐标的最大值. 顶点纵坐标41(2a3)(2a) 2a22a341. a 2+2a+3= (a2 2a+1 . 用配方法求最大值2a1)+3=(a 1) 2 +4 4. 所以当 a=1时，顶点纵坐标最大值是4，而顶点横从标为2 1 =a.故最高的顶点坐标是(1 ， 4)；(6)图象与 x轴两个交点的横坐标就是方程x 2 2ax+(2a+3)=0的两个根 . 设这两个根为x 1，x 2. 由 x 1 x 2 =3 ，得 (x 1 x 2 )2=9 ，即 (x 1 +x 2)2 4x 1 x 2=9.又 x 1 +x 2=2

9、a ，x 1 x2=2a+3 ，代入，得 (2a)2 4(2a+3)=9，即 4a 2 8a 21=0. 所以 a1=72 ，a 2= 32.又 a 1 ， a2 都满足 0.73答：当 a= 2 或 a= 2 时，图象在 x 轴上截得的线段长为3.例 6已知一次函数y=ax+b (a， b 是整数 )二次函数y=x2 +3 ，二次函数y=x2 +6x+7，二次函数y=x2 +4x+5，如果：与的图象有两个交点；与的图象只有一个交点；与的图象没有交点. 求整数a ，b 的值 .yaxb解：由yx23的 x 2 ax+(3 b)=0.因为图象有两个交点，所以此二次方程的根的差别式=( a) 2

10、4(3 b) 0.yaxb由yx 26 x7 . 即 x 2 +(6 a)x+(7 b)=0.=(6 a) 2 4(7 b)=0. 第 3页共 8页答：所求整数为 a=2 ， b=3.例 7 k 取什么值时，二次函数y=x 2 2(k+4)x+2(k2 2)的图象与 x 轴的两个交点都在 y轴的右侧 .分析：交点的横坐标， 就是方程 x 2 2(k+4)x+2(k2 2)=0.的两个根 x 1 ，x 2 . 两个交点都在y轴右方，相当于方程两根都是正值. 所以应满足以下三个条件；0 ， x 1 +x 2 0 ， x 1x 2 0.答：时，函数y=x 2 2(k+4)x+2(k2 2) 的图象与

11、 x 轴的两个交点都在y 轴的右侧 .例 8画出 y= x 2 2 x 3 的图象 .分析：为了去掉绝对值符号，应分x 0， x 0 讨论 .解： x 0 时， x =x ，所以 y=x 2 x 3; 当 x 0 时， x = x ，所以 y=x 2 +2x 3，用分段函数表示为的顶点为 (1 ， 4) ，与 y 轴交点为 (0 ，3)，与 x 轴交点横坐标为方程 x 2 2x 3=0的解 x 1 =3 ， x 2 = 1( 舍去 ).y=x2 +2x 3 的顶点为 ( 1 ， 4) ，与 y 轴交点为 (0， 3)与 x 轴交点横坐标为方程 x 2 +2x 3=0的解 x 1 = 3 ，x

12、2=1 舍去 . 函数图象是图 13 112中的实线部分 .例 9如图 13 113 已知二次函数y=ax2+bx+c图象与 x轴交于点 A， B 与 y 轴交于 C. 顶点是 M.(1) 试确定 a， b， c 的正负号；(2) 如果线段 OA 的长与 OC 的长相等，求证： ac=b 1.解： (1)因为抛物线开口向下，所以a0. 又抛物线与y 轴交点为 (0 ， c) ，而此点在x 轴上方第 4页共 8页，故 c 0.b又顶点在y 轴右侧，所以2a 0. 而 a 0 ，所以 b 0.故 y=ax 2 +bx+c 中， a 0 ， b 0， c 0;(2)设 A 点坐标为 (x 1 ， 0

13、) 则 x 1 是方程 ax 2 +bx+c=0的一个根 .由点 A 在 y 轴左侧，得 x 1 0. 又点 C 与 y 轴交点为 (0 ， c) 且 C 点在 x 轴上方，所以 c 0. 又由 OC 长与 OA 长相等，所以 c= x 1.即 x 1 = c. 又因为 x 1 是方程 ax 2+bx+c=0的一个根，所以 x 1 = c 适合此方程 . 即 a( c) 2+b( c)+c=0.ac2 bc+c=0 . 由 c 0 ，式可除以 c ，得 ac b+1=0. 故 ac=b 1.例 10 如图 13 114 ，正方形 ABCD 的边长为 1 ，在 AB 和 AD 上分别取E，F 两

14、点，且 AE=AF. 设四边形CEFD的面积用记号S 表示，求S 的最大值与最小值 .分析： AE， AF 是变量， S是变量 x 的函数 . 先列出函数式.11解法 1：设 AE=x ，则 S=S ABCD S AEF SACE2x2 2(1 x) ，=1111所以 S= 2 x 2 + 2 x+ 2，其中 0 x 1.15这个函数图象的开口向下，顶点为( 2 ， 8 ) ，对称轴为x=121，与 y 轴交于点 (0 ， 2 ) ，根据轴x 对称 . 它有一个点为1(1 ， 2 ).画图时要注意，图象只能画0 x 1 那一部分 .图象是图13115中的实线部分.151可知，当x= 2 ， S

15、 有最大值8 ；当 x=0 或 x=1 时， S 有最小值 2 .1图 13 116 表示， x=AE=AF=2 时， S 的最大面积 .第 5页共 8页图 13 177 表示， x=AE=AF=0时， A， E， F 三点重合在一起，这时四边形CEFD 的面积就是1CAD 的面积 S= 2 .图 13 118 表示， x=AE=AF=1时， E 与 B 重合， D 与 F 重合，这时四边形CEFD 面积就是1CBD 的面积 S= 2 .111115解法 2： S= 2 x 2 + 2 x+ 2= 2(x 2 )2 + 8 ，其中 0 x 1.115511因为在0 与 1 之间，所以 S= 2

16、 (x 2 ) 2+ 8 8，当 x= 2时，等号成立. 即 x= 2时， S5有最大值8 。111又 0 x 2 时，y 值随 x 增大而增大， 而 0 是 x 的最小值， 所以 S 有最小值 2 0 2 + 2 0+11112 = 2. 又 2 x 1时， y 值随 x 增大而减小， 而 1 是 x 的最大值， 所以 S 有最小值21+1 1 12 1+ 2 = 2 .( 三) 作业1. 结合函数 y=3x 15 的图象，确定当 x 取什么值时：(1)y=0; (2)y 0； (3)y 0 ；2. 结合函数 y=(x 2) 2 1 的图象，确定当 x 取什么值时：(1)y=0; (2)y

17、0； (3)y 0;(4)y有最小值 .3. 点( 3 ， 2) 是反比例函数图象上一点 .(1) 写出这个函数解析式；(2) 画出函数图象；(3)x取什么值时，函数值小于1.134. 抛物线 y=ax 2 +bx+c与 x 轴的两个交点的横坐标是2 ，2，且与 y 轴交点的纵坐标是5 ，第 6页共 8页求这个二次函数的解析式.5. 已知抛物线的对称轴是y 轴，并且经过( 3 ， 2) ， (2 ， 3).命这个抛物线记号为L.(1) 求抛物线 L 关于 x 轴对称的图象的函数解析式；(2)把抛物线L 绕它的顶点旋转180 得到抛物线L 把 L向左平移3 个单位，再向下平移2个单位，写出移动后

18、所得抛物线的函数解析式.作业的答案或提示1.y=3x5 的图象见图13 119.x=5时， y=0 ； x 5 时， y 0 时； x 5 时， y 0.2.y=(x2) 2 =1=x 2 4x+3 ，图 13 120.图象与 x 轴交于点 (1 ，0) ，(3 ，0).x=1，x=3 时，y=0;x1， x 3 时， y 0;1 x 3 时， y 0.答： x x 6 时，函数值小于1.4. 由已知条件，得所求函数解析式为5. 设抛物线 L 的解析式为 y=ax 2 +c.把 ( 3 ，2) ，(2 ，3) 的坐标代入式，得第 7页共 8页所以抛物线L 的解析式为.19(1) 如果图 13 122 ，因为抛物线L 的顶点为 (0 ， 5所以抛物线L 关于 x 轴对称的图象的解析式是19) ，它关于x 轴的对称点是(0 ，5 ).(2)抛物线 L 绕它的顶点旋转180 ，得到的抛物线L的方程是119把 L向左科移3 个单位，再向下平移2 个单位，得