1.2.1任意角的三角函数课件(一).ppt

1、三角函数,1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？,1.2.1任意角的三角函数,y,x,2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,y,y,x,2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？,M,O,y,x,P(a,b),锐角三角函数（在单位圆中）,1.任意角的三角函数定义,设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么:（1） 叫做 的正弦，记作 ，即 ；,（2） 叫做 的余弦，记作 ，即 ；,（3） 叫做 的正切，记作 ，即 。,所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三

2、角函数.,使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.,R,R,任意角的三角函数的定义过程：,例1 求 的正弦、余弦和正切值.,的终边与单位圆的交点坐标为,所以,思考：若把角 改为 呢?,，,，,例2 已知角 的终边经过点 ，求角 的正弦、余弦和正切值 .,解:由已知可得,设角 的终边与单位圆交于 ，,分别过点 、 作 轴的垂线 、,于是，,设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 点 与原点的距离,那么 叫做 的正弦，即, 叫做 的余弦，即, 叫做 的正切，即,任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.,定义推广：,反思三角函数的定义,直角三角中的锐角三角函数 象限

3、角中的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数 任意角终边上任一点坐标定义三角函数,于是，,练习 1、已知角 的终边过点 ， 求 的三个三角函数值.,解：由已知可得：,变式训练,恭喜大家取得的好成绩！,再接再厉，坚持到底,设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点， 点 与原点的距离,那么 叫做 的正弦，即, 叫做 的余弦，即, 叫做 的正切，即,任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.,定义推广：,反思三角函数的定义,直角三角中的锐角三角函数 象限角中的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的

4、任意角三角函数 任意角终边上任一点坐标定义三角函数,R,R,口诀“一全正, 二正弦，三正切,四余弦.”,+,-,-,+,-,-,+,+,-,+,-,证明：,因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；,又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.,因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.,反过来请同学们自己证明.,思考6：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,？,思考：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的 同一三角函数值有何关系？,利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 角的

5、三角函数值 .,？,例4 确定下列三角函数值的符号： （1） （2） （3） 解：,（1）因为 是第三象限角，所以 ；,（2）因为 = ， 而 是第一象限角，所以 ；,练习 确定下列三角函数值的符号,（3）因为 是第四象限角，所以 .,例5 求下列三角函数值： （1） （2）,解：（1）,练习 求下列三角函数值,（2）,课堂检测,1. 内容总结：,三角函数的概念. 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. 诱导公式一.,运用了定义法、公式法、数形结合法解题.,划归的思想，数形结合的思想.,2 .方法总结：,3 .体现的数学思想：,前面我们研究了三角函数在各象限内的符号，学习了将任意角的三角

6、函数化成0到360角的三角函数的一组公式，,由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法,探究：设a 是一个任意角，它的终边与单位圆的交 点为P(x，y)，若过点P作MP x轴于点M，试分析 线段MP和OM的长度与角a的关系.,|MP|=| y |=|sina | |OM|=| x |=|cosa |,五、三角函数线,|MP|=| y |=|sina | |OM|=| x |=|cosa |,五、三角函数线,有向线段：带有方向的线段,例：如右图所示，角a 是第二象限角 有向线段OM表示

7、以点O为 起点，点M为终点的线段， 即OM的方向与x轴的正方 向相反的线段， 我们规定，方向与坐标轴的 正向相同的有向线段表示一 个正值，反之即为负值，,故由|OM|=| x |可得 OM=x,同理可得，MP=y,(0),(0),五、三角函数线,练习：如图所示，角a 是第四象限角，试判断下列四 个有向线段的值.,OM= ； MO= ； MP= ； PM= .,x,-x,y,-y,五、三角函数线,|MP|=| y |=|sina | |OM|=| x |=|cosa |,五、三角函数线,MP=y=sina OM=x=cosa,探究：借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一样的线段来表示tana 吗

8、？,例如，若角a 表示第一象限角， 过点A(1，0)作单位圆的切线， 设它与a 的终边交于点T，,五、三角函数线,y,A(1,0),又如，若角a 表示第二象限角， 仍过点A(1，0)作单位圆的切线， 设它与a 终边的反向延长线交于点T，,探究：借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一样的线段来表示tana 吗？,五、三角函数线,这里MP叫正弦线，OM叫余弦线，AT叫正切线， 它们都是有向线段。,如图，角 的终边与单位圆交于 点P，过点P作x轴的垂线，垂足 为M，过点A(1,0)作单位圆的切 线，设它与 的终边或其反向延 长线相交于点T，则：,五、三角函数线,意义：三角函数线是三角函数的几何表示,五、三角函数线,注：1. 当角的终边落在x轴上时正弦线，正切线变 成一 个 点 2. 当角的终边落在y轴上余弦线变成一个点，正切线不存在.,例1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线,六、例题,例2.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.,解：由三角函数线得,sin1sin1.5,cos1cos1.5,例3、用正弦线和余弦线证明：,例4. 利用三角函数线证明|sin|+|cos|1.,证明：在OMP中，OP=1，OM=|cos|, MP=ON=|sin|， 因为三角形两边之和大于第三边，所以 |sin