高三数学走班七

1、.高三数学（理）走班专题七-排列、组合和二项式定理解排列组合问题的常用技巧1、特殊元素优先法例1 ：0、3、5、6、8这五个数字，组成无重复数字三位数，偶数有几个？2、间接法例2 、7人按甲不在排头，乙不在排尾站成一排，有多少种排列方法。例3、100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？3、元素相邻捆绑法例4、4个老师3个学生排成一列，要求学生排在一起，共有几种排法？例5、 7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？4、元素不相邻插空法例6、5个男生3个女生排成一排，女生不相邻，共有几种排法？例7、大街上有编号为1、2、310的十盏路灯，为了节约用电又

2、不影响照明，可关掉其中的三盏灯，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，那么有多少种关灯方法?5、元素顺序固定除法处理法例8、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个？例9、7人站成一排，甲、乙、丙顺序固定，由多少种不同的排列方法？6、元素分排，直排处理法例10、2个老师，4个女生，12个男生，排成三排照相，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，且老师在第一排，女生在第二排，共有几种不同的排法?例11、7个人坐两排座位，第一排坐3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？7、局部问题“整体优先法”例12、7人站成一排照相，要求

3、甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种？例13、四名男生和两名女生举行一场诗歌朗诵，出场顺序要求两名女生之间恰有两名男生，则出场方案有几种？8、环状排列例14、4名学生和2名老师围圆桌入座，有n种入座方法？9、相同元素进盒隔板法例15、从5个班级中选10人组成篮球队，每班至少一人，有几种选法？例16、7个相同的球放入4个不同的盒子中，每盒不空有多少种方法？10、不同元素进盒先分堆再排列例17、5个老师分到3个班级搞活动，每班至少一人，有几种不同的分法？11、混合问题先选后排法例18、4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子里，则恰有一个空盒的放法有多少种？解答排列组合问题，首先必须认真审

4、题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现精品.“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要不断积累经验。二项式定理问题的题型一、 求展开式中的某一项1、 求常数项例1 、展开式中的常数项为（ ） a1 b46 c4245 d4246例2、已知的展开式中没有常数项，且2n8，则n=_练习题：1）、（x-）12

5、展开式中的常数项为（ ）（a）-1320（b）1320（c）-220 (d)2202）、的展开式中的系数是（ ）a b c3 d4 2、 求正整数次幂的项数（或有理项）例3、的展开式中，含x的正整数次幂共有（）（）4 项 (b)3项 (c)2项 (d)1项二、 求展开式中的某一项的二项式系数或项的系数1、 直接利用二项式定理例4、展开式中的系数为_。2、 运用数列知识例5、的展开式中x3项的系数是（ ）（a）74 （b）121 （c）-74 （d）-121三、 求二项式中的参数例6、已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则 四、 求多项式系数和例7、（05年天津卷）设，则 。精品.二项

6、式定理的内容，是各地方高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是通过选择题和填空题为多见，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式。高三数学（理）走班专题七-排列、组合和二项式定理1、特殊元素优先法 对于有要求的特殊元素，特殊位置要优先安排，在做题时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。合理分配，准确分步是确保解决问题的前提。 例1 0、3、5、6、8这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有几个？ 分析：这里百位及个位是特殊位置，0是特殊元素，若以“元素优先”考虑，则先对0分两类。第一类：这三位数中含有0 ，再分两类：0在个位上分两步，（首先个位安排0，百位

7、十位从4个元素中任取2个排序有a24）有a11a24个。0不在个位上分三步（首先安排0在十位上，再安排好个位，从两个偶数中取一个有a12，最后安排百位有a13）有a11a12a13个；第二类：这三位数不含有，此时只有个位是特殊位置分两步（先安排个位有a12再安排十位百位有a23）有a12a23。由分类计数原理偶数共有（a11a24+a11a12a13）+a12a23=30个，若从“位置优先”考虑，可分0再个位和0不再个位两类：0在个位有a24,0 不在个位有a12a13a13，由分类计数原理得偶数共有a24+a12a13a13=30个。2、间接法 对含有否定字眼的问题可以从总体中把不符合要求的

8、删去，此时注意既不能多减又不能少减。 例2 、7人按甲不在排头，乙不在排尾站成一排，有多少种排列方法。 分析：甲在排头有a66种排法，乙在排尾有a66种排法，甲在排已在排尾有a55种方法，则共有a77-a66-a66+a55=3700种方法。例3、100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？分析：从100件产品中选3件产品的选法有种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有种。3、元素相邻捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大元素和其他元素并列，然后再松绑，对捆绑的元素进行排列。例4、4个老师3

9、个学生排成一列，要求学生排在一起，共有几种排法？ 分析：将题中三个学生捆绑起来作为一个大元素，与其与4位老师共5个元素进行全排列有a55种排法，再给三个学生松绑，他们之间又有a33种排法，由分步计数原理得共有a55a33=7200种排法。例5、 7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有种排法，而甲乙、丙、之间又有种排法，故共有种排法。精品.4、元素不相邻插空法 对于某几个元素不相邻的排列的问题，首先分清“谁插谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；其次，数清可插的未知数；最后还注意，插入时是

10、以组合形式还是以排列形式插入，要把握准。 例6、5个男生3个女生排成一排，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 分析：先排限制条件的5个男生有a55种，由于女生不相邻且不可派两头，故3个女生只能分别排在5个男生的4个间隙中，有a34种（若允许女生排两头，5个男生产生6个空有a36种插法），由分步计数原理得共有a55a34种排法。 例7、大街上有编号为1、2、310的十盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可关掉其中的三盏灯，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，那么有多少种关灯方法? 分析：由于问题中的7盏灯亮3盏灯灭，两端又不准灭，故可把亮灯作为无限制条件的元素产生6个空隙

11、，在这6个空隙中插入3个熄灭的灯即可，由c36种关灯方法。5、元素顺序固定除法处理法 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素和其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。 例8、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有多少个？ 分析：无条件限制的总排列数为a15a55个，而十位与个位的全排列数为a22，符合条件的只有一种，故满足条件的六位数有：a15a55a22=300个。 例9、7人站成一排，甲、乙、丙顺序固定，由多少种不同的排列方法？ 分析：此题全排列有a77种方法，而甲、乙、丙的排列法有a33种，其中只有一种符合条

12、件的，则符合条件的排法有a77a 33=840种不同方法。 思考：5人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况 ？ 简析：按元素定序除法处理法得aa=60种，或者先排甲、乙有c种，再排其他3人有a种，由分步计数原理得ca =60种。6、元素分排，直排处理法 若n个元素要分m排排列，可把每排首位连成一列，对于每排的特殊要求，只要分段考虑特殊元素，然后对其余元素作统一排列。 例10、2个老师，4个女生，12个男生，排成三排照相，要求第一排5人，第二排6人，第三排7人，且老师在第一排，女生在第二排，共有几种不同的排法? 分析：先把18个人看成一排，从左到右分5个位，6个位，7个位

13、三段，先从左边的5个位中排入2个老师有a25种，再在中段的6个位中排入4个女生有a46种，然后在其余的位置上全排12个男生有a1212种，由乘法原理，共有a25a46a1212种。例11、7个人坐两排座位，第一排坐3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？分析：7个人可以在前后两排任意就坐，再无其他条件，故可看成7个人在7个位置上的全排列问题，所以，不同的坐法有种。7、局部问题“整体优先法”对于局部排列问题，可先将局部看作一个元与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。例12、7人站成一排照相，要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种？分析： 甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从

14、其余5人中选，有种；这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有种方法，它的内部甲、乙两人有种站法，中间选的3人也有精品.种排法，故符合要求的站法共有种。 例13、四名男生和两名女生举行一场诗歌朗诵，出场顺序要求两名女生之间恰有两名男生，则出场方案有几种？ 分析：由于要求有“女男男女”这样的“小集团”，可先“组团”。从4名男生中选2人排入两女生之间，有a24a22种，（2名女生有a22种排法），把这样的“小集团”看为一个元素和其他两名男生进行排列，有a33种，故共有a24a22a33种，或者先整体后“集团”法共有a33a24a22种。8、环状排列剪断直排法 n人围成一圈的排列称为环状排列。对于环

15、状排列，我们可以想象成这n人手拉手的排列，因此可采用剪断直排筏。由于n人有n个连接点，故友n种剪断得方法，故共有ann /n种排法。 例14、4名学生和2名老师围圆桌入座，有n种入座方法？ 分析：6人全排列有a66种方法，由于6种剪断直排对应同一种圆排，故共有a66/6=120种。9、相同元素进盒隔板法 对于相同元素的分配问题，可设计一种情景来解决，就是我们的挡板分隔。 例15、从5个班级中选10人组成篮球队，每班至少一人，有几种选法？ 分析：这里只是人数而已，与顺序无关，故可把10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少一球。可先把10球排成一列，再在其中的9个间隙中选4个位置插入4块“挡板

16、”分成5格（构成5格盒子），有c49种方法。 例16、7个相同的球放入4个不同的盒子中，每盒不空有多少种方法？ 分析：7个球放入4个不同的盒，即把7个球分成4组，不妨将7个球摆放一列，设法分成4部分（每一种分法对应一种放法），要想分成4部分，只需用3个隔板将7个球隔开。其中7个球产生6个空，选3个空放隔板，则有c36=20中方法。10、不同元素进盒先分堆再排列 对于不同的元素放入不同的盒内，当有的盒内忧不少于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。 例17、5个老师分配到3个班级内搞活动，每班至少一人，有几种不同的分法？ 分析：先把5位分成3堆，有两种分法3、1、1分法2、2、1分法（其中

17、分法有c35种，分法有c25c23/a22种),再排列到3个班级里全排列，由分类、分步计数原理，共有（c35+c25c23/a22）a33种。11、混合问题先选后排法 对于排列组合的混合问题，可采用先选元素后排列的办法。 例18、4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子里，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 分析：可以分步处理。第一步，从4个盒子中选出1个空盒子有c14种；第二步，从4个球中选出2个球有c24种；第三步，把先取出的2个球为一个元素与其与2个球组成3个元素，放入剩下的3个盒中，进行全排列有a33种；由分步计数原理得共有c14c24a33种放法。求展开式中的某一项在二项展开式中

18、，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式t。精品.1、 求常数项例1 、（08年江西卷） 展开式中的常数项为 a1 b46 c4245 d4246解：先求的展开式中的通项再求的展开式中的通项两通项相乘得：，令=0，得4r=3k，这样一来，（r，k）只有三组：（0，0），（3，4），（6，8）满足要求。故常数项为：例2、（08年辽宁卷15）已知的展开式中没有常数项，且2n8，则n=_分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题对中，只有时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与、乘积为常数的项。故填5。练习题：1）、（08年山东卷）（x-）12展开式中的常数项为（ ）（a）-1320（b）1320（c）-220 (d)2202）、（08年全国二7）的展开式中的系数是（ ）a b c3 d4 答案：1）（c）；2）（b）。2、 求正整数次幂的项数（或有理项）例3、（05年江西卷）的